SÉANCE DU l8 JUIN 1917. 94^ 



série 



^l".(=)-'l + il".(-^)-M + ^l"3{--)---M+... 



converge iiniformérnenl pour | ^ | = a et tend vers une videur moindre (jue -> 



toute fonction analytique, pour \z-\'Sa peut être représentée par une série 

 absolument et uniformément convergente de la forme c ^ u ^^ z) + c.;,u .;,{z') -^ . . . . 



Pour démontrer ce résultat nous emploierons la fonction auxiliaire 



K(j, lï') = i 1 : h. . . . 



D'après notre hypothèse, la série qui donne K converge uniformément 



pour |h^| = fl, I r. I = «; et I K j <^ -> dans les mêmes circonstances. Donc 



K est une fonction analytique en ; et w pour | ^ | ^ o, \\v\ -^ a, sauf peut-être 

 pour 1^1 = rt ou |ir| = a où elle reste continue. De plus | Iv | prendra sa 

 plus grande valeur pour | n'| = | ; | = a, et cette valeur ne dépasse pas -• 

 Considérons maintenant l'équation intégrale 



/(,.) = giz)-^ ^ fK{z,t) 



■2-\—lJc 



rit)'"^ 



où le contour C d'intégration est le cercle | / 1 = a pris dans le sens positif. 

 Pour I ;| = rt, l'équation ainsi obtenue est du type de Fredholm, si l'on 

 pose 



Les variables angulaires et 'f varieront entrée et 2-, et le noyau de l'équa- 

 tion de Fredholm, 



est moindre que -^ en valeur absolue. Mais l'intervalle pour 6, o est de 



longueur 2~. Donc il existe une solution unique g(:), donnée par la 

 méthode des approximations successivesi 



Mais/(2) est analytique pour |^| = «; le dernier terme du second membre 

 dans l'équation intégrale est analytique en z dans le même cercle. Il faut 

 donc que leur différence ait la même propriété. Cette différence est égale 

 à g{z) pour I 3 I = a. Il s'ensuit que g(z) peut encore être regardée comme 

 une solution de l'équation intégrale pour \z\<^a. 



