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Remplaçons niaintenanl K par son développement en série. En intégrant, 



on obtient 



T~^. 2 t: \/— I ^f. " 



fiz)^Si = ) + y. ' "'"' ,— ' Sit)t-"dt 



OU 



(>) /(.-)=:Vc*"*(--) 



/. = 1 



avec 



(2) «= '-= fff{()l''dt 



[puisque (pour | :; |<a) o-(s) = le,,:"-' |. 



Ce développement de /(s) remplit manifestement les conditions 

 énoncées. 



Le théorème ci-dessus a le complément suivant : 



A la suite des fonctions u^ (::), Ur,(~), • ■ ■ , on peut associer une autre suite 

 i' I ( s ), (\, ( s ) , ...de fonctions dont chacune est analytique pour \z\~^ a, et telles 

 (jite^ pour n' importe quelle fonction f, chaque coefficient c„ soit donné par 



(2') C„= ' f/(l)v,^{t)dt. 



27T\/— I Je 



v„(z) sera donnée par l'équation (toujours à solution unique) 



(3) z-«=. •„(;)+ '-—= fwit, z)i;,{i)dt 



27: y/— I Je 



(intégration dans le sens positif). Quoique la fonction t'„(s) ne soit définie 

 tout d'abord que pour s == a, on voit que les autres termes de l'équalion 

 en t'„(z) sont analytiques pour |^|]>« et s'évanouissent pour 3 = 00. 

 Donc ('„(-) a les mêmes propriétés. 



Si maintenant on remplace, dans (3), K(/, z) par son développement, 

 on obtient (pour | ; | > a) 



^-''=r„(.-)+ V -' f\a,{()-t''-']v„{t)rf(. 



Mais la fonction ('„(:;) peut être développée suivant les puissances néga- 

 tives de z : 





