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de degré in 



les Oi étant des nombres réels quelconques. On voit donc que, contraire- 

 ment à ce qui se passe pour les formes binaires ordinaires, il existe des 

 formes à indéterminées conjuguées de degré arbitrairement élevé, inva- 

 riantes par un groupe infini Ae substitutions linéaires. 



Il est cependant aisé de montrer que : 



Toute forme binaire à indéterminées conjuguées qui reste invariante par un 

 groupe infini de substitutions linéaires est du type 



et '\i étant deux formes d'Hermite distinctes (à coefficients quelconques, 

 non forcément entiers), les a^ étant des nombres réels quelconques. Inverse- 

 ment, toute forme de ce type admet une infinité de substitutions auto- 

 morplies, à savoir toutes celles qui conservent à la fois o et ■\i. 

 Les formes du type précédent sont décomposables : 



/=«„(9 — Xil) ('jf — l^'li) . . .(ffl — A„i]>). 

 Il leur correspond dans le plan OHt] des courbes 



/(-, ') = ?(-■. --') — o 



qui se décomposent en ti cercles; ces cercles auront des équations en 

 ;y] (3=:H + r/]) à coefficients réels lorsque }^, sera réel; à deux valeurs 

 complexes conjuguées de A correspondront deux cercles imaginaires con- 

 jugués. 



Il est donc possible d'affirmer qu'une forme binaire à indéterminées 

 conjuguées indécomposable ne peut admettre comme grdupe automorphe 

 qu'un groupe fini. 



Ces groupes finis sont bien connus maintenant, et il est facile de donner 

 les types canoniques auxquels se ramènent (par une substitution linéaire) 

 toutes les formes à indéterminées conjuguées que ces groupes laissent inva- 

 riantes. On suppose pour cela que le groupe fini est un groupe de polyèdre 

 régulier. Si alors on fait la projection stéréographiquc V sur la sphère de 

 la courbe ï)(:;, :■') = o du plan O^r] qui correspond à la forme f, on trouve 

 que le cône qui a pour sommet l'origine et pour directrice la courbe F 

 revient sur lui-même par toutes les rotations du groupe d'un polyèdre. Ce 

 cône est donc une des surfaces qui ont été étudiées par M. (ioursat. On 

 connaît toutes ces surfaces, on en déduit toutes les formes cherchées. 



