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non, et désignons par G l'ensemble de tous les points (appartenant à E ou 

 non ) en lesquels la densité extérieure de E est égale à un. 



On démontre sans peine qu'il existe, pour l'ensemble E, un ensemi)le 

 mesurable M contenant E et tel que 



(i) /»{M) = w,(E). 



Delà résulte sans peine que les ensembles M et E ont la même mesure exté- 

 rieure dans tout intervalle, donc la même densité extérieure aux points où 

 elle est déterminée, Or, pour un ensemble mesurable, la densité extérieure 

 se confond avec la densité (épaisseur), et d'après un théorème qui est dû à 

 M. Lebesgue la densité d'un ensemble mesurable M est presque partout 

 égale à un dans M et presque partout égale à zéro dans le complémentaire 

 de M. Il en résulte que les points de M n'appartenant pas à Li et les points 

 de G n'appartenant pas à M forment un ensemble de mesure nulle. 



Donc 



m{G)z=m(M) 

 et, d'après (i), 



(2) m{G) — m,(E). 



Or, M contenant E et l'ensemble M — G étant de mesure nulle, l'en- 

 semble de tous les points de 1*] n'appartenant pas à G est de mesure nulle. 

 Notre théorème est donc démontré complètement. 



Posons encore 



d'après w(E — G) = o, nous aurons évidemment /n (H) = ///(G); donc, 



d'après (2), 



m(n) = «!,(E). 



H sera donc un ensemble mesurable bien déterminé par !•>, contenant E 

 et ayant une mesure égale à la mesure extérieure de E. Nous pouvons donc 

 affirmer : 



On peut définir une loi t/'aprèx laquelle à tout ensemble non ntesurahle E 

 correspond un enxemble mesurable H = H (E) bien délerminè contenu ni E el 

 ayant une mesure égale à la mesure extérieure de E. 



