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Inversement^ toul domaine formé de points de (D,. ) fait partie d'un 

 domaine (D) correspondant à une fonction limite F(^), pourvu qui/ existe 

 dans le premier domaine un point P dont les correspondants sur (d) admettent 

 au moins un point limite intérieur à (c?). 



On déduit aisément du résultat précédent ijue tout domaine ouvert sim- 

 plement connexe, borné ou non, du plan des Z peut être représenté d'une 

 manière conforme sur le domaine ouvert du cercle (û?) de rayon un, de 

 manière qu'à un élément de contact intérieur à (D) corresponde un élé- 

 ment de contact intérieur à {d) arbitrairement choisi (' ). 



1. Correspondance entre les points frontières. — La représentation con- 

 forme du domaine ouvert simplement connexe (D) sur le domaine ouvert (fi^) 

 est, comme on sait, complètement déterminée par la condition que deux 

 éléments de contact, arbitrairement choisis dans (D)et(c?), se correspon- 

 dent. L'étude de la correspondance qui en résulte pour les points des fron- 

 tières (G) et (c) de ces domaines a été faite par Kiemann lorsque (C) est 

 formée par un ou plusieurs arcs analytiques. Le cas d'un contour non analy- 

 tique a été étudié d'abord par M. Painlevé (-), puis, dans le cas général, par 

 M. Caralhéodory ('). 



On peut faire cette étude en utilisant seulement les théorèmes généraux 

 de la théorie des fonctions analytiques et en leur adjoignant la proposition 

 suivante : 



Soit /',( z'),f.^{z), . .., f„(z). ... une suite infinie de fonctions analytiques 

 bornées dans leur ensemble dans l'intérieur d'un domaine connexe (A). Si 

 cette suite converge uniformément sur un arc (y) arbitrairement petit du con- 

 tour limitant le domaine, elle converge aussi uni forméinent dans tout domaine 

 intérieur à (A) et dont la frontière peut comprendre des portions de ( y). 



(') Ce dernier théorème a déjà été établi par M. Osgood, jiar une voie dilVérenle 

 [0« the existence of Greeii x function for llte inost gênerai siinply connecled plan 

 région {Trans. Ani. Math. Soc, 1900, p. 3io)]. I^n utilisant des suites normales de 

 fonctions, M. Caraliiéodory a démontré cette même proposition pour certains domaines 

 simplement connexes [Untersuchungen iitier die konfornien Abbildungen von 

 festen und verànderlichen Gcbieten {Math. Annalen, 1912, p. 107)]. 



(^) Sur la théorie de la représentation conforme [Comptes rendus, l. 112, 1891, 

 p. G53). 



C) Ueber die gegenseilige Beziehung der Rânder bei der konformen Abbi/diing 

 des Innercn einer Jordan'schen Kurve auf einen Kreis {Math. Annalen, igiS, 

 p. 3o5) et Ueber die Begrenzung einfachziisanimcnlidngender Gebiete {Math. 

 Annalen, 1918, p 323). 



