SÉANCE DU 4 JUIN I917. 88 1 



Ce théorème, qui est une généralisation nouvelle d'une proposition 

 classique de Weierstrass, permet de montrer d'abord qu'à tout point acces- 

 sible Zo de (C) correspond un point Zg de (c) tel que,/(3) ait pour 

 limite Z„ lorsque :■ tend vers z^ par un chemin quelconque intérieur à (c). 

 On établit, en effet, que, dans le cas contraire, /(s) aurait pour limite la 

 constante Z„ sur un arc de (c). C'est l'extension au cas d'un point accessible 

 quelconque, de la méthode que M. Picard (') a fait connaître pour un 

 point Z„ commun à deuv arcs analytiques distincts de (C). On déduit aisé- 

 ment de ce qui précède l'étude du cas où tous les points du contour sont 

 accessibles et, en particulier, que la représentation conforme d'un domaine 

 limité par une courbe simple de Jordan sur un cercle est biunivoque et 

 continue pour les points des frontières, c'est-à-dire pour les domaines 

 fermés. 



Le même théorème permet l'étude de la correspondance entre les fron- 

 tières pour les points z^ de (c) tels que le domaine d'indétermination 

 de /(:■), lorsque ; tend vers Zg par des chemins intérieurs à (d), ne se 

 réduise pas à un point. Soit F l'ensemble des valeurs limites obtenues; 

 cet ensemble, qui est un continu linéaire, est la somme de l'ensemble F„ 

 des valeurs limites de /"(-) sur tout chemin non tangent en z^ à la circon- 

 férence et d'un autre ensemble Fj,. Le continu F forme un bouf de la fron- 

 tière (C); sur ce bout, les points P„ de F„ sont des points principaux et les 

 points de F'^ sont des points accessoires. Les premiers se distinguent des 

 autres par la propriété suivante : il existe une infinité de coupures du 

 domaine (D), ayant pour limite le point F» et dont chacune sépare ce point 

 d'un point fixe arbitrairement choisi dans (D) (^). 



Imaginons une suite infinie d'arcs de courbes (/„), (/, ), ..., (7„), .-., 

 intérieurs à (d), aboutissant en :;„ d'un même côté du diamètre passant en 

 ce point, et tels que l'ordre de contact de ces courbes avec le cercle (c) 

 croisse avec n. Si F„ désigne l'ensemble des valeurs limites de /{:■) sur 



l'arc (/„), on a les inégalités F^fF, ^F,< . . .<F„5 On peut donc dire 



que l'ensemble des valeurs limites de f{z) sur des arcs de courbes aboutissant 

 en ^0 s'accroît de plus en plus quand augmente l'ordre du contact de ces 

 courbes et du cercle. 



(') Cours à la Faculté des Sciences de Paris en 1888. Traité d'Analyse, 1''° édi- 

 tion, 1893, et 2" édition, t. II, p. 3o-. 



(■^) Voir CARATiifioDOitv, loc. cit., et Li.vdelôf, Sur un principe général de l'Ana- 

 lyse et ses applications à la théorie de ta représentation conforme {Acta Societatis 

 Scientiarum Fennicœ, 191 j). 



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