88a ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques problèmes qui impliquent 

 des fonctions non mesurables. Noie de M. W. Sierpinski. 



Nous dirons qu'un problème implique des fonctions non mesurables, si, 

 en aduiellant ce problème résolu (affirmativement), on en déduit sans 

 l'axiome du choir l'existence des fonctions non mesurables. Par exemple 

 le problème d'existence d'un ensemble bien ordonné ayant la puissance 

 du continu implique des fonctions non mesurables. 



Le but de cette Note est d'appeler l'attention sur quelques autres pro- 

 blèmes de la théorie des ensembles et certaines questions d'analyse qui 

 impliquent l'existence des fonctions non mesurables. 



On regarde dans la théorie des ensembles comme bien démontré que 

 l'ensemble de tous les sous-ensembles dénombrables du continu a la puis- 

 sance du continu. Or, nous allons démontrer que ce problème implique 

 des fonctions non mesurables. 



Admettons, en effet, que l'ensemble de tous les sous-ensembles dénom- 

 brables du continu a la puissance non supérieure à celle du continu. Il 

 existe donc une correspondance d'après laquelle à tout ensemble dénom- 

 brable de nombres réels E correspond un nombre réel /"(E), de telle sorte 

 qu'aux ensembles E différents correspondent toujours des nombres y(E) 

 différents. 



Soit maintenant .r un nombre réel donné. Désignons par E(a;) l'ensemble 

 de tous les nombres x + r, '" étant un nombre rationnel quelconque : on 

 voit sans peine que ce sera un ensemble dénombrable et que nous aurons 

 toujours y^{x) = E(iî') pour x — x' rationnel et E(.î-) :^ E(a;') pour x — x 

 irrationnel, 



A tout nombre réel donné x correspondra donc un nombre réel 

 (f(^x)=f[E{x)\, et il suit des propriétés de E(.c) et /(E) que nous 

 aurons ^(x) = Z'(x') pour x — x' rationnel et Z'(x) ^ ^(^') pour x — x' 

 irrationnel. 



Or, je dis que toute fonction <p(.i) jouissant de cette propriété est non 

 mesurable ('). 



Admettons, pour le démontrer, que o(x) est mesurable et posons 

 '^(x)=^ o(x) — z( — x) : ce sera donc aussi une fonction mesurable. 



(') M. 11. Lebesgue a démontré cela pour une classe parlicuiièie de fouclions (f{X) 

 [poui- lesquelles o(a.) — x est toujours rationnel] (voir Util/. Soc, math, de France, 

 t. 3o, p. 210). 



