SÉANCE DU 4 JUIN I917. 883 



Désignons par N l'ensemble de tous les nombres réels x satisfaisant à l'iné- 

 galité '^(.r) > o : la fonction '\i^x') étant mesurable, l'ensemble N le sera 

 donc aussi. 



Nous allons maintenant démontrer que l'ensemble N est non mes-urable 

 dans tout intervalle. Désignons, en effet, par Q l'ensemble de tous les 

 nombres irrationnels n'appartenant pas à l'ensemble !\ : pour tout œ de Q 

 nous aurons ■.};(,i) <[o et réciproquement, ce qui résulte de la définition 

 de l'ensemble N et de la remarque que l'égalité ■]/(.<?) = 0, c'est-à-dire 

 s)(iC) = ç>(— a?), subsiste, d'après les propriétés de ç. (a;), pour a; ration- 

 nel et seulement pour .r rationnel. Je dis maintenant que pour tout v 

 rationnel et tout x irrationnel, des deux nombres x ^\.ir — .r, l'un appar- 

 tient à i\ et l'autre à (^ : pour le prouver, il suffit de remarquer que, d'après 

 la définition de '^i^x) et la propriété de ^('î'), nous avons toujours pour v 

 rationnel 'j/(2r — a*) = — '|i(,r). Or, tous les nombres de N et de Q sont 

 irrationnels, puisque pour x rationnel nous avons ■\{x^^=o. Donc les 

 ensembles N et (^ sont images symétriques l'un de l'autre, pour tout point 

 à abscisse rationnelle /• comme centre de symétrie 



Soit maintenant (a. A) un intervalle donné quelconque et admettons que 

 la partie de l'ensemble N contenue dans (a, 6) est mesurable. Or, soit 

 (a,, A,) un intervalle aux extrémités rationnelles contenu dans {a, h), d'ail- 

 leurs quelconque, et désignons par N, et (), les parties respectives de N 

 et Q contenues dans (a,, è,) : N, sera donc un ensemble mesurable. Les 

 ensembles N, et Q, sont superposables, comme images symétriques l'un de 

 l'autre | le milieu de («, , 5,) étant le centre de symétrie | : donc ils ont la 

 môme mesure et cette mesure sera égale à la moitié de la longueur de 

 (rt,, 6,), puisque les points de (a,, 6,) n'appartenant ni à N nia Q (comme 

 rationnels) font un ensemble dénombrable. 



Il s'ensuit qu'on pourrait décomposer l'intervalle (o, />) en deux ensem- 

 bles qui ont la même mesure dans tout intervalle aux extrémités rationnelles, 

 contenu dans («t, 6). Or, comme on sait, on démontre sans peine (sans 

 l'axiome du choix) que c'est impossible. 



Nous avons donc démontré que la fonction Ç/(a7)ne peut être mesurable. 

 Le problème sur la puissance de l'ensemble de tous les sous-ensembles 

 dénombrables du continu implique donc des fonctions non mesurables. 



On regarde aussi comme bien démontré que l'ensemble de toutes les 

 fonctions de la deuxième classe de M. Baire a la puissance du continu. Or 

 nous démontrerons que ce problème implique des fonctions non mesu- 

 rables. 



Admettons, en effet, que l'ensemble de toutes les fonctions de la 



