884 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



deuxième classe de M. Baire a la puissance du continu :je dis qu'il en résulte, 

 sans l'axiome du choix, que l'ensemble de tous les sous-ensembles dénom- 

 brables du continu a une puissance non supérieure à celle du continu. 



Soit D un ensemble dénombrable de nombres réels. Désignons Tpar/^Çx) 

 une fonction d'une variable réelle qui est égale à i pour tous les points œ 

 de D et égale à o pour tous les autres x : ce sera évidemment une fonction 

 de la première ou deuxième classe dans la classification de M. Baire. A tout 

 ensemble dénombrable D de nombres réels correspond donc une fonc- 

 tion fo{x) déterminée et aux ensembles D différents correspondront 

 évidemment des fonctions fo{o^) différentes. Donc il existe une correspon- 

 dance biunivoque entre l'ensemble de tous les sous-ensembles dénom- 

 brables du continu et un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les fonctions 

 de la première et deuxième classe de M. Baire. 



D'après notre hypothèse l'ensemble de toutes les fonctions de la deuxième 

 classe a la puissance du continu; or il résulte (sans l'axiome du choix) 

 des recherches de M. Baire sur les fonctions discontinues que l'ensemble 

 de toutes les fonctions de la première classe a la puissance du continu. 

 L'ensemble de tous les sous-ensembles dénombrables du continu aurait 

 donc une puissance non supérieure à celle du continu, ce qui implique des 

 fonctions non mesurables, comme nous l'avons démontré plus haut. 



Nous avons donc démontré que le problème sur la puissance de l'ensemble 

 de toutes les fonctions de la deuxième classe de M. Baire implique des 

 fonctions non mesurables. Il en est de même, à plus forte raison, pour 

 l'ensemble de toutes les fonctions représentables analytiquement. Nous 

 pouvons donc affirmer que PexisUnce des fonctions non mesurables est aussi 

 bien démontrée que le théorème d' après lequel V ensemble de toutes les fonctions 

 représentables analytiquement a la puissance du continu. 



Je finirai en signalant encore un problème qui implique des fonctions 

 non mesurables : c'est le problème d'existence d'un ensemble ordonné ayant 

 la même puissance que l'ensemble de toutes les fonctions d'une variable 

 l'éelle. 



ASTRONOMIE. — Eléments de la comète 191 7 b (Sc/iaumasse) . 

 Note de MM. G. Fayet et A. Schaumasse, présentée par M. B. Baillaud. 



Les observations utilisées sont celles obtenues les 23 avril, 8, i4 et 

 22 mai 191 7, par M. Schaumasse, à l'aide de l'équalorial coudé (o'",4t> d'ou- 

 verture) de l'Observatoire de Nice. 



