SÉANCE DU II JUIN 1917. O" 



I"' Ou bien les points communs à ces deiiv cercles si ces points communs 

 sont réels; 



2° Ou bien les points limites du faisceau déterminé par ces deux cercles si 

 les points communs sont imaginaires. 



Dans tous les cas P aura ses coefficients entiers puisque (7- — ^pr a ses 

 coefficients entiers. 



On peut même reconnaître aisément que la forme de Dirichlet dont les 

 racines sont les racines de P est une de ces formes particulières (étudiées 

 dans mes Notes des 20 novembre et 4 décembre 1916) qui engendrent des 

 corps simplement quadratiques, et qui se conservent par une infinité de substi- 

 tutions modulaires hyperboliques. On sait aussi (\\iil existe une iujinité de 

 formas d'Hermite indéfinies à coefficients entiers, contenant une telle forme de 

 Dirichlet. 



De là se tirent plusieurs conclusions : 



\° Si les formes /, et/o en lesquelles / se décompose sont indélinies et 

 ont des demi-sphères représentatives sécantes, le cercle d'intersection F 

 représentera la forme de Dirichlet V précédente aux racines P(=) = o. La 

 réduction de /se fait à l'aide des mêmes substitutions que celle de F (voir 

 Comptes rendus, t. 164, 1917, p. G19); à cause des propriétés rappelées de F, 

 les réduites de f formeront une suite périodique composée d'un nombre fini 

 de formes se reproduisant périodiquement une inhnité de fois. Si donc la 

 forme /a ses coefficients entiers, on voit qu'il se produit le même fait que 

 pour les formes quadratiques binaires indéfinies à coefficients entiers réels, 

 le nombre des réduites est fini. 



1" Il existe un groupe cyclique de substitutions modulaires hyperboliques 

 qui conservent la forme hiquadratique f envisagée, lorsque f satisfait aux 

 conditions du 1°. 



3° Toujours dans les mêmes conditions, on peut, d'une infinité de ma- 

 nières, trouver deux formes d''Hermite^etm', indéfinies, à coefficients entiers, 

 à demi-sphères représentatives sécantes suivant le demi-cercle V, et telles que 

 l'on ait identiquement 



f = k<b- -\- ■îB<bW + CW\ 



A, B, C étant trois nombres rationnels réels tels que B- — AC > o. 



4" Si l'on envisage maintenant les cas où les formes /', et/^ de décom- 

 position ne sont pas toutes deux indéfinies et à demi-sphères représentatives 

 sécantes, on voit que/peut encore toujours se ramener au type 



