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$ et ''I'' étant des formes d'Hermite à coefficients entiers, dont les cercles 

 représentatifs du plan OHv) n auront jamais de point commun réel; A, B, C 

 sont rationnels, réels, et B- — AC > o. $ et ^ peuvent être définies ou 

 indéfinies. 



Conclusion. — Les formes biquadratiques à coefficients entiers décompo- 

 sables en un produit de deux formes d'Ilermite se ramènent à l'une ou 

 l'autre des deux catégories suivantes bien distinctes : 



Première catégorie. — Les formes de décomposition sont indéfinies et 



leurs demi-sphères représentatives sont sécantes suivant F. /"se ramène au 



type 



Atl)"--H2B4»'F-+-C'F- (A, B, C entiers réels; B'— AG>o) 



d'une infinité de façons, mais toujours ^ et W seront des formes d'Hermite 

 indéfinies, à coefficients entiers et à demi-sphères représentati^>es sécantes 

 suivant Y. 



Deuxième catégorie. — Toutes les formes biquadratiques décomposables 

 qui n'entrent pas dans la première catégorie. On les ramène, d'une infinité 

 de façons, au type 



A^^'-V- 2B<ï>»r + CW* (A, B, C entiers réels; B^ — AC > o). 



mais jamais $ et "^F, formes d'Hermite à coefficients entiers, ne seront deux 

 formes indéfinies à demi-sphères représentatives sécantes. 



Si $ est définie, son point représentatif est sur F; si <I> est indéfinie, sa 

 demi-sphère représentative est orthogonale à F. 



Toute forme de la première catégorie est conservée par un p;rnupe 

 cyclique infini de substitutions modulaires hyperboliques. 



Elle a un nombre limité de réduites se reproduisant périodiquement. 



Une forme quelconque de la deuxième catégorie n'a qu'une réduite, mais 

 elle n'admet pas, en général., de substitution modulaire automorphe. Cer- 

 taines classes seulement de formes de la deuxième catégorie admettent des 

 groupes finis de deux ou trois substitutions modulaires elliptiques ; on en a faci- 

 lement les types canoniques. 



On voit l'analogie des deux catégories avec les formes quadratiques 

 binaires réelles indéfinies et définies à coefficients entiers. 



IL y peut se décomposer en un produit tel que 



K{xx'— xxf— [3a-'7 -i- ■iyy'){rx'— a.'x'y — '^'xy'+fyy') 



