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quelle que soit la permutation réalisée à un instant quelconque, on soit 

 assuré que la probabilité d'une permutation arbitraire au bout de N opéra- 

 tions à partir de cet instant est supérieure à t. En d'autres termes, la loi de 

 variation avec le temps de la probabilité des opérations n'entraîne pas la 

 conséquence qu'il suffise de supposer réalisée une permutation convenable à 

 une époque convenable pour que la probabilité d'une autre permutation 

 puisse rester inférieure à un nombre arbitrairement petit pendant un temps 

 arbitrairement grand ('). 



Soit alors /^;,„ la probabilité de la permutation A; avant la «'''""' opération. 

 On a évidemment 



>,=>.■ 



(0 Pj.n+l= Z^^-j,/,,nP/i,n, 



h = 1 



en désignant par a^^,» la probabilité pour que la n""^' opération remplace A^^ 

 par Ay ; les a sont liés par les relations 



/; = < 

 (2) 2ay.,,,„=I. 



Il est d'ailleurs clair que les diverses sommes (2) correspondant à la 

 même valeur de n, mais à des valeurs différentes dey, ne diffèrent que par 

 l'ordre de leurs termes; le cas étudié par M. Poincaré est celui où les a ne 

 dépendent pas de n. 



Soient?,, el/>„ le plus grand et le plus petit des/jy,„; les formules(i) el(2) 

 entraînent 



(') Il est clair qu'une reslriclioa de ce genre est nécessaire. Considérons un jeu de 

 trois cartes et désignons par A l'opération qui consiste à permuter les deux premières 

 et par B l'opéralion qui consiste à permuter les deux dernières. Soit /j„ la probabilité 

 pour qu'au /i''""= battage on eflTeclue A et 1 — /i,, la probabilité pour qu'on efTeclue B. 

 La probabilité pour que l'on n'efTectue jamais A pendant les n premiers battages est 

 évidemment 



(1— /'l)(l— /^!)---('-/'«)- 



Si les pn sont tels que ce produit converge lorsque n augmente indéfiniment et ait 

 pour valeur 0,9, on voit que la somme des probabilités des deux permutations dans 

 lesquelles la première carte est la même qu'à l'origine reste supérieure à 0,9, tandis 

 que la probabilité de chacune des quatre autres permutations reste inférieure à 0,1. 

 Cet exemple montre dans quelle direction on pourrait chercher à modifier la condition 

 restrictive. 



