SÉANCE DU 2 JA.WIER 1912. 29 



représente /'(a?) dans rintervalle limite et à ses extrémités; il constitue donc 

 la solution cherchée. 11 n'existe pas de valeur de H satisfaisant à la rela- 

 tion (2 ), si toutes les racines X de ~ {z) annulent la quantité 



e>"'!j{o) -^e'''[r.{o) -'-L(o)]. 

 c'est-à-dire lorsqu'on a 



a — 0' 



le développement cherciié n'est alors possible que d'une seule façon et, 

 comme on possède déjà une formule de développement ('), il est superflu 

 d'en chercher une autre. Ce cas est donc irréductible. 



Le cas de ~(o) nul [~'(o) ^ o] se traite de même. Au lieu de (S j' on a 

 ici un développement contenant un terme en ./■, à savoir 



^^^L/(/')-/('0]-i-; 



7r'(o) 



pour (juc ce terme disparaisse, il sufiit qu'on ait 



/(*)-/(«) = o- 

 En posant encore 



J\x)=/{x) — 11 eV-f- 11 eV. 



ou pourra, sauf dans le cas ipie nous avons appelé irréductible, former une 

 série d'exponentielles représentant /( ./j dans tout l'intervalle limite et à 

 ses extrémités. 



Ces mêmes résultats pei(vent être obtenus en puilaul de la formule 



H'-) 



(S) 



•^(-^■^ =-2]^/ '•■"•'- ^'/(H-)^H- 



qui est valable dans tout l'intervalle {a, b). sauf à ses extrémités ; on posera 

 f{x) =/{.r) — II e'v'— K e'.-^-t- H eV-t- K e> 



„/.,.r 



Ào et )., étant deu\ racines de t.(z). On vérifiera aisément qu'on retrouve ainsi le cas 

 exceptionnel signalé j)lus liant, le seul dans lequel on ne puisse pas former de déve- 

 loppement qui soit \aliible même pour ,r=rrt et .2'=ri. 



Eu résumé, et sous la réserve de ce cas exceptionnel, on peut, dans 

 l'inlervalle limite correspondant à ~(=), représenter par une série SAc'"', 

 où A est racine de ~(z), toute fonction satisfaisant aux conditions de 



(') Cf. loc. cil. 



