SEANCE UU 8 JANVIEli li^I2. 55 



et qui admettent aussi comme solutions les {'onctions œ. En effet, à l'aide de 

 ces conditions, on peut déterminer les coefficients des équations suivantes 



] du^ du- Oi- au oc 



^^^ ] d'e ,d'-B ,,d'-B ,dfj .,de ,, 



! di>^ du- dr^ du or 



et le système formé par les équations (i) et (2) admettra comme intégrale 

 générale Sa,ir,, les a,- étant des constantes. 



Les conditions d'intégrabilité, que je note par (I), seront alors vérifiées 

 el l'on aura de plus entre les coefficients des relations (II), conséquences 

 de la relation ILx'- = o. 



On démontre maintenant de la même manière que dans le cas n = (j, 

 qu'il y a 00^ solutions p. de (i) à l'aide de chacune desquelles la transformée 

 de Moutard de (i) admet aussi ciu(j solutions quadratiques. La solution a 

 vérifie en dehors de (1) un système analogue à (2), pour lequel j'ai dé- 

 montré que les conditions d'intégrahiliti' sont vérifiées en vertu des rela- 

 tions notées par (I) et (II). 



II. Ce qu'il y a d'intéressant, c'est que le passage des solutions jC( au.\ 

 solutions iTj correspond à la transformation D„, de M. Darboux pour les 

 surfaces isothermiques et réciproquement. On retrouve ainsi, par une 

 autre voie, le résultat de M. Darboux : de toute surface isothermique on 

 peut déduire à l'aide de ces transformations xj' autres surfaces isolher- 

 miques. 



On peut aller plus loin. Si, à l'aide des solutions p.' et [a" de ( i), on dé- 

 duit de .r, par la transformation de Moutard les solutions x- et x] pour les- 

 quelles on a Lx'^' = o et 1.x]- ■= o , j'ai démontré que les fonctions 

 ^/= Xi-+- t(x'- — x]-), où / est déterminé de manière qu'on ait S^; = o, véri- 

 Hent aussi une équation de la forme (i). Ces dernières fonctions peuvent 

 être aussi regardées comme les transformées de Moutard des x[ , ou comme 

 celle des x"- . Ce théorème correspond au théorème de permutabililé donné 

 par M. Blanchi pour les transformations de M. Darboux (Anna/i <li Mate- 

 matica, 1906). 



Mais il donne quelque chose de plus, qu'on ne pouvait pas voir facilement 

 dans notre espace, et qu'on voit clairement dans l'espace à quatre dimen- 

 sions qui sert de support à toutes les considérations précédentes. On voitque 

 les points x, x' , x" et ^ de l'espace à quatre dimensions se trouvent dans un 



