5() ACADÉMIE DES SCIENCES. 



même plan, c'est-à-dire sur une même variété linéaire à deux dimensions. 

 Cela prouve que les points correspondants de notre espace se trouvent sur un 

 même cercle. Par conséquent, si l'on a les surfaces isothermiques S, et S, 

 déduites de S par les transformations D„,, et D,,,^, et S' la quatrième surface, 

 déduite par le théorème de permutabiiité, et si enfin les points correspon- 

 dants sur ces surfaces sont P, P,, Pg, P', on a la propriété simple que ces 

 points se trouvent sur un même cercle. De plus, le rapport anharmonique de 



ces quatre points sur le cercle est constant, à savoir (P, P,, Po, P') = — ^• 



Il résulte de là que dans le cas où W2 = m,, la surface S' coïncide avec S. Le 

 plan du cercle précédent enveloppe évidemment un réseau conjugué; le 

 point qui décrit ce réseau se trouve au point commun des droites PP' 

 elP.Pj. 



J'ajoute enfin que si l'on considère le groupe des huit surfaces obtenues 

 en partant de S et qu'on lui applique trois transformations de M. Darboux et 

 «nsuite le théorème de permutabiiité, leurs huit points correspondants sont 

 toujours situés sur une même sphère ou dans un même plan. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations inlégio-différentielles de 

 M. Hadamard. Note de M. Paul Lévy, présentée par M. H. Poincaré. 



La détermination d'une fonction biharmonique par ses valeurs et celles 

 de sa dérivée normale sur un contour C se ramène à la détermination d'une 

 certaine fonction de Green G^. On sait que la fonction 



est une solution de l'équation intégro-différentielle 



(1) mi— Ç ^'^^^hids. 



.J'ai déjà indiqué dans ma Thèse (§ 42) que les solutions de celle équa- 

 tion, dont la partie infinie sur le contour est la même que celle de W^ (qui 

 est facile à former) et qui se reproduisent, à un facteur constant près, si 

 l'on remplace la figure cousliluéc par le contour C el les points A et B par 

 une figure semblable, constituent au plus une infinité dénombrabie. Si l'on 

 ajoute la condition d'être harmonique, la romlioii considérée est entière- 



