SÉANCE DU 8 JAXVIER 1912. ^7 



ment déterminée, et ne peut être que W^ ('). Ces diverses conditions con- 

 duisent à former des équations intégrales déterminant parfaitement les 

 valeurs de cette fonction sur le contour. Si l'on suppose ces équations réso- 

 lues, on peut obtenir la fonction Gj^ par des quadratures. 

 Au lieu de l'équation (i), on peut considérer l'équation 



que vérifie la fonction G,'. Elle n'est pas complètement intégrable. Les solu- 

 tions analytiques et sans singularité sur le contour sont les fonctions de 

 l'une des formes 



(3) -r,f{.r,,y,) + y,ff^a-,,y,) + h{.r,,r,). 



(4) /(-ri+O'i' •'■2— 'J'-2) + (^i-0'i).'?(-^-2— 0'.) 



+ (./•.,+ ty2)/i(j",-i- //i) -H rt(.ri— ''.Vi) (•£•2+ iyi), 



(5) (xf + /;)[« (.rl+jl) + /x .i:, + c y., + d ] 4- a-, [«, (JV, -i-ji) + ^1 ■r. + c, /., + r/,] 



+ >', [f^i-'i-^yl) + b,.T, + c,y., -h (/■,] + a3(.rl-\-yl) + b3J-,^C3y, + d3, 



X, et y, étant les coordonnées du point A, x\, et y., celles du point li,/,g,h 

 des fonctions arbitraires, et a, b, c, d, «,, ...,d^ des paramètres arbitraires. 

 Dans les expressions (3) et (4) on peut évidemment éclianger le rôle des 

 points A et B. 



Ces résultats se déduisent aisément d'une remarque générale sur les équa- 

 tions de la forme 

 (G) 5H- r/t,'l'(A, B, U,B)oncls, 



/étant une fonctionnelle de C et de tp, dérivable au sens de Volterra, qui 

 dépend en outre des points A, B, M et de l'angle que fait avec Ox la tan- 

 gente en M au contour. Pour qu'il existe une solution de cette équation, 

 égale pour un contour C„ à une fonction donnée ^>o, analyti<]ue et sans sin- 

 gularité sur C„, il faut que, pour la courbe Co et la détermination <!>„ de *\>, 

 f soit indépendant de 0, que M soit ou non sur la courbe C^. Cette condi- 

 tion est, de plus, suffisante dans le cas où la condition que j'ai appelée (Joe. 

 cit.., § 12) première condition d'intégrahilitê relative à l'équation (G) est 

 identiquement vérifiée, ce qui est le cas pour l'équation (2). 



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(') Ilya toutefois dans les raisonnements qui m'ont conthiil à ces résultats un 

 [loint que je n'ai pas pu rendre entièrement rigoureux. 

 C. R., 1912, I" Semestre. (T. l&'i, N" 2.) 



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