QiS ACADÉMIE DES SCIENCES. 



détermination, fondée sur les mêmes étoiles, des éléments des clichés de 

 la partie du fuseau limité à o'' et G*" d'ascension droite, comprise entre 4" et 

 12° de déclinaison. Les valeurs provisoires de ces éléments, publiées il y a 

 quelques années, avaient été fondées sur des positions des étoiles de repère 

 généralement tirées du Catalogue de l'Astronomische Gesellschaft, zones de 

 Leipzig et d'Albany. 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur un théorème général relatif awr Jonctions 

 uniformes d'une variable liées par une relation algébrique. Note 

 de M. Emile Picard. 



1. J'ai établi autrefois la proposition suivante (') : 



Si entre deux fonctions analytiques uniformes d'une variable existe une re- 

 lation algébrique de genre supérieur à l'unité, ces fonctions ne peuvent avoir 

 de point singulier essentiel isolé. 



Je me suis servi, pour la démonstration (-), d'une transcendante de la 

 théorie des fonctions fuchsiennes, telle qu'elle a été constituée par 

 M. Poincaré. Comme je le faisais alors remarquer, ce théorème montre la 

 nécessité de l'introduction des fonctions automorphes ou de fonctions ana- 

 logues dans la théorie des courbes algébriques puisque, en laissant de 

 côté les genres zéro et un, il est impossible d'obtenir une représentation 

 paramétrique uniforme par des fonctions ayant des points singuliers essen- 

 tiels isolés. J'ajoute, ce qui n'est pas sans quelque intérêt historique, que 

 c'est en s'appuyant sur le théorème précédent que M. Poincaré donna le 

 premier exemple de fonctions uniformes, sans lignes singulières, mais avec 

 des points singuliers formant un ensemble parfait : ce sont les fonctions 

 fuclisiennes, de genre supérieur à un, existant dans tout le plan. 



2. Rappelons encore que M. Landau a indiqué en 1904 une extension 

 extrêmement remarquable, aujourd'hui classique, du premier théorème que 

 j'ai donné jadis sur les fonctions entières. Cette généralisation consiste en 

 ce que, si l'on a un développement taylorien commençant par les termes 



«0+ «1- -H- ■ . (a,7^ o), 



(') Bulletin des Sciences malhémalUjues (i883) et Acta mathematica (l. XI, 1887). 



(') La démonstration suppose seulement que les fonctions ont une branche uniforme 

 dans le voisinage d'un point singulier essentiel isolé, sans qu'intervienne la façon dont 

 elles se comporletU ailleurs. 



