SÉANCE DU l5 JANVIER 1912. 99 



convergent dans le cercle de rayon R, et si l'on suppose que dans ce cercle la 

 fonction ainsi définie ne devienne jamais égale à zéro et à un, le rayon R 

 est au plus égal à une certaine fonction R(a„, a,) dépendant uniquement 

 de a„ et a,. M. Carathéodory a fait connaître en 1906 une limite précise 

 pour cette dernière fonction. Cette question et d'autres analogues ont été 

 présentées avec une rare élégance et sous un jour nouveau par M. Lin- 

 delôf dans une Communication faite au Congrès des mathématiciens Scan- 

 dinaves en 1909. 



Les considérations employées dans la démonstration du théorème rap- 

 pelé au paragraphe précédent peuvent être utilisées dans une question 

 concernant les courbes de genre supérieur à un, et présentant quelque 

 analogie avec le problème de M. Landau. Quoique très simple, la proposi- 

 tion à laquelle on est ainsi conduit offre, ce me semble, quelque intérêt. 



3. Nous partons de la courbe algébrique 



de genre au moins égal à deux. Il résulte de la théorie des fonctions 

 fuchsiennes qu'on peut former une fonction 'kix, y) du point analytique 

 (a7,jK), holomorphe dans le voisinage de tout point de la surface de Riemann 

 correspondant à (i), et pour laquelle le coefficient de / est toujours positif. 

 Les diverses déterminations de 'k{x,y) se déduisent d'ailleurs de l'une 

 d'elles par des substitutions linéaires, et de plus l'inversion de A conduit à 

 exprimer x e\.y par des fonctions automorphes. 



Ceci posé, admettons qu'on puisse satisfaire à l'équation (i) par des 

 fonctions x et y d'une variable r, méromorphes à l'intérieur du cercle C de 

 rayon R ayant l'origine pour centre ; on suppose de plus que, pour :; = o, 

 on ait a; = a, y = è, le point (a, h) étant un point ordinaire déterminé de 

 la courbe. Enfin, soient les développements tayloriens de x et y autour 

 de :; = o : 



J- = (7 H- ff, ; -H. . . ) 

 y — b-^b^z^... I 



OÙ il est manifeste que h^ s'exprime à l'aide de a et a,. 



Substituons maintenant dans la fonction A(j:,_K),à la place de x ^\. y, les 

 fonctions méromorphes de 3, dont il vient d'être parlé. La fonction X de- 

 vient alors une fonction de z, holomorphe dans le cercle C, et le coefficient 

 de i dans cette fonction est positif. 



