lOO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Considérons alors l'expression 



^^> '-<-)- X(^,y)-X„(a,6)' 



en désignant par Xj(a, b) la quantité imaginaire conjuguée de X(a, b). Le 

 module de la fonction E(z), holomorphe dans le cercle C, est inférieur à 

 l'unité ; développons cette fonction suivant les puissances croissantes de z. 

 Commençons à cet effet par développer 'k(x, y) suivant les puissances 

 de j; — a dans le voisinage du point analytique (a, b) ; on a ainsi 



Hx, y) = tJ.{ic) — lJ-{a) -h (a: — a) ix' (a) ^ . . . , 



[i(x) étant holomorphe dans le voisinage de a. Nous avons alors 



E(2) = A,3-h Aj^2 + ..., 

 où 



a, p.' {a) 



A,= 



fjt(a) — p„(a) 



tjL„(a) étant la conjuguée de u. {a). 



Puisque, dans le cercle de rayon R, le module de E (z) est inférieur à 



un, on aura 



|A,|R<., 

 et par suite 



r: 



K(«) — lJ-o{o) 



Nous avons donc le théorème suivant, où nous posons 



K(a, rt, ) 





Considérant un point (^a, b) de la courbe f, on met à la place de .v dans 

 l'équation 



une fonction méromorphe de z dans un certain domaine autour de l'origine, 

 dont le di'veloppement taylorien autour de z ^= o est donné par la formule 



On tire de (ol) la fonction y de z, prenant pour z =z o la valeur b. Les deux 

 fondions x et y de z ne pourront être simultanément méromorphes dans un 

 cercle ayant l'origine pour centre et un rayon supérieur à R(a, a, ), expres- 

 sion qui dépend seulement de a et a ^ et nullement des autres coefficients du 

 développement de x. 



