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soirées où les signaux ont pu être reçus d'une façon complète, estdeo%oo5, 

 très sensiblement égale à celle de la lumière. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la valeur asymplotique de la meilleure 

 approximation. de\.x\. Note de M. Serge Bernstei.v, présentée 

 par M. Emile Picard. 



1. Dans un Mémoire qui doit paraître prochainement ( ' ), j'ai donné, en 

 particulier, deux démonstrations du fait que la meilleure approximation 



de\x\ par des polynômes de degré i n est, quelque soit n, de Vordre de — • 



Je me permets de reprendre ici l'une de ces démonstrations pour indi- 

 quer des résultats plus précis que j'ai obtenus récemment en poussant un 

 peu plus loin les calculs. Le point essentiel du raisonnement, auquel je fais 

 allusion, avait consisté à construire un polynôme R(i';) de degré 2 n qui se 



confond avec \x\ aux points O et cos(/i +-) — ' racines de l'équation 



2 / a II 

 X T(a.') =a'C0S2« arc cos.r =r o. 



En formant ensuite la différence | ,r | — R (./■ ), j'avais remarqué que 



(I) |.,.l_R(^)^IMf, + e„(^)], 



où £„(o)= —I, mais, quelque soit j;> j^„> o, £„(./•) tend vers zéro, lorsque 

 // croît indéfiniment. Or, en poussant plus loin les calculs, on reconnaît que 

 £„(a:) tend vers zéro, même lorsque x tend également vers zéro, poumt que ux 

 devienne infini. Ce résultat est une conséquence de la formule 



<2) j.r| — Hi^.r^ — 



dans laquelle h = '^-^^ et où a„ tend uniformément vers zéro pour n =^ yi, 

 quel que soit x\ on vérifie, en effet, que le second membre tend vers — '—^ 

 pourvu que» = —^ devienne innni. 



(') Sur l'ordre de la meilleure approximation (les fonctions conlinaes ( Mémoires 

 ries Sai'frnts étrangers, publiés par rAcadéniie de Belgique, 1912). 



