SÉANCE DU 22 JANVIER 1912. l85 



2. Soit Ejn la meilleure approximation de | x | au moyen d'un polynôme 

 de degré in sur le segment — i , + i ; on tire de la formule (2) que pour «, 

 suffisamment grand, on a 



(3) ^>E,„>^. 



2.11 "in 



La première des inégalités (3) résulte de ce que le polynôme de 



degré an 



-4" 



réalise effectivement une approximation égale à -— • 



La seconde des inêgalités(3)se vérifie parl'application d'un théorème (') 

 de M. de la Vallée Poussin au polynôme 



où la constante C peut être choisie de la sorte que tous les in -h 3 écarts 



,0.3 

 soient supérieurs a 



• r>. n 



3. J'indiquerai encore quelques propositions qui pourront être utiles 

 pour évaluer E^n avec une approximation aussi grande qu'on voudra. 



St P (x) est le polynôme d'approximation de degré in quelconque de \x\, 



l équation 



P(.r)-R(jr)=o 



a une racine et une seule dans chacun des m intervalles compris entre cos — 



^ 2/1 



et cos-^ —■ — 



■m 



H convient d'adopter la définition suivante : 



On dira que le polynôme Q(a') représente asymptotiquement le polynôme 

 d'approximation V {x), si, E'.,„ désignant /'approximation fournie par 



(') Sur les polynômes d'approxiiualio/i et la représentation approchée d'un 

 angle {Bulletin de l'Académie de J3clgi</ne, 1910). 



