264 ACADÉMIE DES SCIENCES 



étant convergente pour |* — *o | = ''.d on a, pour 



l'inégalité 



'1= fi=^îi 



[M(r,)]""'-.<[M(/,)r'-'[M(/-3)]'°''\ 



M(r) désignant le maximum de \f{s )\ sur la circonférence \s — s^\ = r. 



A l'aide de ce théorème je déduis de l'hypothèse de Riemann : ^(s) ^ o 

 pour R(.9) ]> -. la conséquence suivante : 



(2) logÇ(a + iO = 0[(logO^<'-"+M, 



et même uniformément pour 



^ et E désignant des quantités positives, arbitrairement petites et indépendantes 

 l'une de l'autre. 

 Posons en fait 



Alors on a, d'après des théorèmes connus concernant t{s), les relations 



Vl(/-;,) = 0(logO, M(/-,) = 0(i), 



et en appliquant (i) avec un choix convenable de a,,, on obtient un résultat 

 équivalent à (2 . 

 Ecrivons maintenant dans (2) £ = û : il en résulte 



|logÇ(5)|<K(logO'-S 

 et ainsi 



(3) |Ç(5)|<e'°s"""'s""^*=<'"i»5'r*— 0(/3), 



£ étant arbitrairement petit. D'une façon analogue 



(3') ~0(t^) pour a>- + d. 



;(■«) 2 



On en conclut, d'après un théorème connu, le résultat suivant 

 Les séries de Dirichlet 



