SÉANCE DU 2<) JANVIER 1912. 205 



et 



(4)' ■ V/.(„)«-» = 





convergent dans le demi-plan R ( ) > - • 



On a des résultats analogues pour des séries de Dirichlet de caractère 

 plus générai. Par exemple : 



(5) Cadrniie 7= a étant la droite de convergence de la série f(^s) = !;«„«"*, 

 alors, ou la fonction f (s) a des singularités en tout domaine a-> a — 0, ou 

 elle prend chaque râleur assignée une infinité de fois en tous ces domaines, ou 

 enfin on a, en tous ces domaines et pour chaque râleur de k, 



lim. Slip. I f{s).<!-'' I := y.. 



Il reste encore à décider si cette dernière alternative n'est pas superllue 

 et en quelle mesure l'exposant de la série de Dirichlet pourrait être géné- 

 ralisé. 



Des raisonnements plus subtils m'ont conduit aux théorèmes suivants, 

 dont le premier nous donne une forme plus précise de (2). 



On a uniformément, pour 



•\ 



1 o . ^ 



- + 1 : ~<7 = i, 



2 log,/ 



la relation 



^r/iog/iog2r\"'-'", 1 

 (2)' iogÇ(5) = iogC(^ + '0 = o[( 10.3/ ) '°^''J' 



Oll 



log.2< = log log/, .... 



De plus (toujours basé sur l'hypothèse de Hiemann) 



(6) . logÇ(n-f/) = log[0(log:,<log30], 



de sorte que "((i -\- it) et — r- sont de la forme 



Ollog^MogsO- 



Si, au lieu de l'hypothèse do Riemann, nous supposons seulement que 

 les abscisses des zéros de "((*) sont toutes <0 < 1, les théorèmes (2)', (3) 

 et (3)' seront à remplacer par des théorèmes analogues, tandis que (6) 

 reste inaltéré. 



En me servant enfin d'un théorème de MM. Bohr et Landau, d'après 



C. R., I5JI2, I" Semestre. (T. ISi, N" 5.) • ^^ 



