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lequel |"C(i + //)| > Iv ' logo/ pour certaines giaudcs valeurs de /, je déduis 

 (l'hypothèse de Riemann étant vraie ou non ) le théorème suivant : 



(7) Ou la fonction C(^), <>ii bien la fonction C'(*) a une injinilé de zéros 

 dans le demi-plan t ]> i — 0, étant une (juantitè positive arbitrairement 

 petite. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de formes quadratiques 

 à quatre variables liées à la transformation des fonctions abéliennes. 

 Note de M. G. Cottv, présentée par M. G. Humbert. 



l. En étudiant la transformation des fonctions abéliennes, Hermite a été 

 amené à considérer les formes quadratiques 



le signe S s'étendant aux valeurs o, i , 2, 3 des deux indices /, /', et les coef- 

 ficients fl/y étant liés par les relations 



CotS^^a '^0 3 ^ ^'1 I ^22 ''Î2> 



«00 «23+ «22«0l— «02(«03+ «1») = », 

 «U«23+ «33«01— «I3(«03+ «I2) = «1 

 «00«13— «11«02— «0l(«03— «12) = O, 

 «22«13— «33«02+ «23(«03— «12) =0. 



Le discriminant de /est égal à o- en posant 



è =:«„„rt33+ «01 «23— «02«13— «03- 



Après avoir montré que ces formes possèdent une propriété les rappro- 

 chant des formes binaires, Hermite dit : « On peut isoler en quelque sorte 

 les formesy des formes générales;! quatre indéterminées, pour les comparer 

 entre elles par les substitutions spéciales que nous avons définies (connues 

 sous le nom de transformations d' Hermite), On pourra ainsi se poser sous 

 ce point de vue, le problème de l'équivalence arithmétique de ces formes, 

 établir la notion déclasse, rechercher les rapports entre les classes distinctes 

 qui correspondent à une même valeur de o. » Hermite, qui utilise une 

 propriété de ces formes /pour établir l'existence des fonctions dans la 

 transformation, revient, à la fin de son Mémoire sur la transformation 



