SÉANCE DU 29 JANVIER I912. ■26'] 



des fonctions abéliennes, sur ces formes et signale l'importance de leur 

 étude ('). 



2. La méthode que nous avons employée pour traiter le problème tel 

 (ju'Hermite l'a posé, et que nous croyons nouvelle dans l'étude des formes 

 quadratiques, consiste à utiliser les propriétés arithmétiques de l'espace 

 réglé, deux systèmes de droites étant équivalents lorsqu'on passe de l'un à 

 l'autre par une substitution homographique sur les coordonnées .r,, à 

 coefficients entiers et de déterminant égal à i. Adjoignant à la forme/ la 

 quadriquey= o, d'un espace où les coordonnées tétraédriques sontx„, ,/;,, 

 X.,, Xj, nous déterminons sur cette quadrique, un ensemble de droites 

 jouissant de certaines propriétés arithmétiques et, de l'étude générale de 

 Féquivalence de ces systèmes de droites, découle la solution des diverses 

 questions relatives à l'équivalence et à la réduction des formes y. 



3. A chaque forme /, adjoignons la forme binaire o(x,y) ainsi 



définie. Soit 



A„ H,, C„ D„ !•:„ 



A2, Bj, Cq, D2, Ko, 



un système fondamental de solutions des équations 



2D«,3+ 2Art23— Ba33=: o, 



2C(/„, — 2 Eooi-h Ba„„=o, 



iJcoi — C«,3 4- Art„,+ E«j3 — Brt„3=i o. 



Posons 



et 



Bf — 4A,C, — 4D,E, = â,; B^ — 4A,C,— ',D,E,= Aj; 

 B.B^— 2{A,C,-H \,C,) — 2(D,E,-+-E,D.,) = cia 



La forme z> ne peut représenter que des nombres congrus à o ou à i 

 suivant le module /\. Son discriminant est égal à à un facteur positif près, 

 dépendant du p. g. c. d. des coefficients de /et de la primitivité propre ou 

 impropre de/après division des coefficients par ce p. g. c. d. 



Relativement aux formes o, nous avons ce théorème : 



Si deux formes / sont équivalentes, leurs formes binaires adjointes sont équi- 

 valentes (au sens donné à ce mot dans la théorie ordinaire des formes"). 



C) Hi;rmite, Œuvres-, l. 1, p. 47'^ el suiv. 



