SÉANCE DU 29 JANVIER 1912. 269 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème des vibrations transversales 

 (l'une verge élastique hétérogène. Noie de M. J. Tamarki.ve, présentée 

 par M. Emile Picard. 



Prenons une verge élastique dirigée suivant Taxe des x et encastrée à ses 

 deux extrémités a el b (a <^ b). 



Le problème des vibrations transversales d'une telle verge nous ramène 

 aux deux problèmes suivants : 



A. Démontrer l'existence d'une suite illimitée de /onctions Vi(a?) 

 (X- = o, I , a, . . .) satisfaisant aux équations 





H«/'(-'-) N/.(.^) 



jointes aux conditions aux limites 



(la) v,.(rt) = v^.(/.) = \;^(rt) = V',(^) = o, 



oii r(x), J)(x) sont les fonctions données dans l' intervalle ( a, b) et u.,, sont des 

 constantes. 



H. Etudier la possibilité du développement., dans l'intervalle (a,b), d'une 

 Jonction arbitraire /(v) en série convergente de la/orme 



/ I>{j--)/{-x)V/,(j')dx 

 (•1) /{■r)=^A,\',{.r); A,=^ 





En appliquant convenablement les méthodes générales de M . W. Steklofl", 

 nous avons résolu le problème A sous la seule supposition que la fonc- 

 tion r( x) reste positive dans (o, b) ('). 



En même temps, en supposant encore que la fonction /j(a;) reste positive 

 dans (a, b), nous avons établi que le système de fonctions ^ki-^') esl fermé, 

 c'est-à-dire qu'on a toujours, quelle que soit la fonction f(x), intégrable 



(') \ oir } .ÏAMAWiiiyE, Application de la méthode des fonctions Joiidamentales. etc. 

 {Coninuinications de ta Soc. math, de Kharko\\\ l. XII, 1910). 



