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dans {a, b), 



/h 

 p{x)f'-{x)dx=^H. 



Nous avons montré de même que toute fonclioti f(^x) ayant les dérivées de 

 deux premiers ordres dans (a, b) et vérifiant les conditions 



se développe en une série de la forme (II) uniformément convergente 

 dans {a, b). 



En supposant que la verge considérée soit homogène, on peut obtenir les 

 résultats beaucoup plus généraux ( ' ). 



Maintenant nous pouvons rejeter cette dernière restriction et énoncer, 

 dans toute sa généralité, le théorème suivant : 



C. La fonction positive p(x) ayant les dérivées de cinq premiers ordres 

 dans (a, b), les conditions du développement d'une fonction arbitraire f(^x) en 

 une série de la forme (II) sont précisément les mêmes que celles du développe- 

 ment de la fonction f [x) en une série t ri gonomé trique. 



Pour obtenir ce résultat général nous avons déduit en premier lieu les 

 expressions asymptotiques des fonctions V;;(if) pour les grandes valeurs 

 de k. Supposons, pour plus de simplicité, que r(^x^ = const. En géné- 

 ralisant la méthode classique de Liouville-Bonnet (-) développée par 

 M. W. StekloIV (■') nous avons obtenu lesdites expressions sous la forme 

 suivante 



(III ) V/,(x-) = Q. 9(0 [e-V— (- i)''e->'i<'-') - cosht -+■ iinl,.t] 



G/ r i' ■ 



( ' ) \ oii ■^\ . Stekloff et .1 . i A>iAliKi.\E, Problùnia des viljralions l/aiiSici sa/es d'une 

 verge iHasliquc liomogènc {liciidiconli dcl (Jircola iinilli. di l'aleinio, t. \\.\1, 

 191 1). 



{-) Voir LiouviLLE, Sur le dijvcdoppeineiit des fondions en séries, elc. (Joiirital de 

 LioiH'ille, i" séiie, l. 11). — HoNNEr, Journal de Lioiici/te, \'" série, I. XVII, iSàa, 

 p. a G."). 



(') Noir VV. Sii:kl.Oli', Sur une nié//iode nouvelle pour résoudre plii-iieiirs pro- 

 l/lè/ncs. ele. {Comptes rendus, 17 juin iyo7); Sur tes expressions asyniptollijues. elc. 

 {Communie, de la Soc. math, de K/iarl.on., 1907). 



