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Sans doute, en développant l'équation de la trajectoire par la formule de 

 MacLaurin, on peut obtenir une série de ternies aussi prolongée que l'on 

 voudra : mais cette solution reste encore illusoire à moins d'un calcul 

 démesurément prolongé et même d'une convergence douteuse. On ne peut 

 retenir de ce procédé que la forme de l'équation (3), en nombre de termes 

 fini, comme procédé spécial de discussion et de recherches. 



Mais comme l'a fait remarquer Saint-Roberl, l'équation (2) offre tou- 

 jours le moyen de calculer numériquement, avec une approximation 

 illimitée, la valeur de c correspondant à une valeur donnée de 0, pourvu 

 que la fonction /{v) soit continue dans les limites de l'intégration. 



Reste à trouver le moyen d'effectuer utilement les calculs nécessaires. 

 On remarquera pour cela que la fonction / (v) n'intervient dans les calculs 



que sous le signe / . On est donc conduit, comme dans toutes les méthodes 



de quadratures, à lui substituer une ou plusieurs fonctions successives, 

 donnant pour les intégrales correspondantes des valeurs numériques équi- 

 valentes. 



Une première application de ce principe a été faite par 13ashfortli, en 

 écrivant y(r) ^ fA'-', où le paramètre d, considéré comme constant dans 

 l'analyse, reçoit différentes valeurs moyennes, l'une par exemple pour c 

 variant de 600™ à 55o"', la seconde entre 55o"' et doo™, et ainsi de suite. 

 On put ainsi obtenir des formules analogues à celles d'Euler, mettant les 

 divers éléments de la trajectoire sous forme d'intégrales définies, et en 

 déduire des Tables numériques. Mais cette méthode ne fut appliquée que 

 pour des vitesses inférieures à 600'" et eût nécessité trop de changements 

 numériques pour le paramètre ^ dans le cas des grandes vitesses actuelles. 



Cette méthode de représentation numérique à& f(^v) étant insuffisante, 

 on fut conduit à admettre qu'il n'était pas nécessaire, pour la séparation 

 des variables et les quadratures consécutives, que l'exposant « fût entier, et 

 que l'on pouvait alfecter dans ces conditions, à la représentation numé- 

 rique de/'(^'), une série de paraboles de degré fractionnaire telles que leur 

 suite reproduisit ladite fonction expérimentale avec des écarts moindres que 

 les variations dérivant des causes accessoires, telles que l'état atmosphé- 

 rique, les modifications au tracé des projectiles <jui se traduisent par des 

 vaiiations de i, etc. 



Dans ces conditions, l'équation de l'hodographc, conservant la foime 



