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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations de Lnplace 

 à solutions quadratiques . Noie de M. Tzitzéica. 



1. Je suppose que l'équalion de Laplace à invariants égaux 



^ ' au oc 



admet les /« + a solutions a,, liées parla relation quadratique 



n. 



(2) ^<z; = a„+,a„+2. 



I 



Soient a,, les n + 2 fonctions obtenues de a, pour la transformation de 

 Moutard et à Taide de la solution particulière 1\ de (i). Ces nouvelles fonc- 

 tions vérifient aussi une équation de la forme (i). Le problème de choisir 

 la solution R, ou de déterminer la transformation de Moutard, de manière 

 que les a| vérifient aussi la relation 



n 



(2') 2o('/ = a;,_^,«'„_^,, 



1 



n'a pas encore été résolu d'une manière générale. Nous Pavons complè- 

 tement résolu dans les cas n ^ -i^ n ^^ 3, n = ] et, dans le cas n = 3, nous 

 avons montré qu'il est identique à la transformation des surfaces isolher- 

 miques données par M. Darboux. 



Nous nous proposons maintenant de faire voir que, dans le cas général 

 aussi, le problème se confond avec une généralisation de la transformation 

 de M. Darboux. 



2. Tout d'abord nous posons 



«/• , • < 



Xi— {i~ 1,2, . .., /i); 



"f/l + S 



ces fonctions sont des solutions d'une équation de Laplace de la forme 



d'à: 09 dx 09 Ox 



Oiiâv Je ()ii àii ()v 



(>omme, en vertu de (2), I,xj est une solution de cette équation, il résulte 



