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relations (4), (5) el (G), enfin en posant 



et en posant aussi '/,, = -^ on obtiendra les relations 



--=f'-"/,. -— = 



ou au () 



f'^^l. -TT. ~ — TT. y- -^ in(c''c: -h e-''o) — la,,n-f,, 



(lo) 



du ()6 . Otr,, ^ 



ou âv (In 



àa ,, <)'/. ôB 



di> <)v au ' 



I ()v ou ' c^r 



et 



(il) >,^+ p.- + iir;, = •îwcpo-. 



Le système linéaire d'équations aux dérivées partielles, formé par les 

 deux équations en o de (9) et par les équations (10), est complètement 

 intégrable en vertu des relations (G). Son intégrale générale contient 

 /i H- 2 constantes arbitraires. Comme d'autre part, pour toute intégrale 

 (A, [j., »'^„ '^, (j ) du système, on a 



A- + lU.- + 2 u'^', — ■?. m 017 =: coiisl. , 



il résulte qu'en imposant à l'intégrale générale la relation (11), elle con- 

 tiendra encore «+ 1 constantes arbitraires. Dans ces conditions il est aisé 

 de voir que l'on a pour les x- la relation 



ce qui montre bien que le réseau (.r) déduit du réseau isothcrmiquo (x) 

 est lui aussi i-^olberinique. Pour « := 3 on retombe sur la transformation 

 de M. Darboux. On voit donc bien que toute transformation de Moutard 

 de /* + 2 solutions quadr-atiqiies en n + 2 solutions quadratiques se réduit 

 à une généralisation de la transformation D,„ de M. Darboux. 



