SÉANCE DU 5 FÉVRIER I912. 335 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de Dirichlel. 

 Note de M. Hk\ri Lebesgue, présentée par M. Emile Picard. 



Le problème consiste à trouver une fonction V(P) harmonique et conti- 

 nue dans un domaine donné D, continue sur la frontière F de D et égale sur 

 cette frontière à une fonction donnée_/'(P), continue dans D et surF. Nous 

 supposerons que D est un de ces domaines pour lesquels on peut affirmer 

 l'existence de la solution Y (P), quelle que soit la fonction donnéey(P), et 

 nous nous proposons de calculer V ( P ). 



Des mélliodes qui permettent de démontrerTexistencede V(P) les seules 

 qui conduisent à des algorithmes assez simples pour permettre le calcul sont 

 celles de Neumann et de Fredholm ; elles rattachent le calcul à la résolution 

 d'une équation intégrale, linéaire, non homogène, de seconde espèce. Il est 

 très facile de rattacher le calcul de V à la résolution d'une équation inté- 

 grale, singulière, linéaire, homogène, de seconde espèce. 



Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le cas de deux dimensions. 

 Soit C(P) le plus grand cercle de centre P et qui soit contenu dans D 4- F", 

 le théorème de la moyenne de (lauss s'écrit alors 



(1) V(P).= f I ■— — 1 \{.r,y)cl.vdy^f fK,{V,C))Y{.v.y)clvdy. 



K., (P, Q) étant le facteur qui multiplie V (t-iv) dans l'intégrale du second 

 membre si le point Q de coordonnées x,y est intérieur à C (P) et K, (P, Q) 

 étant nul dans le cas contraire. Cette équation est celle dont il s'agit. 



Tandis que l'équation de Neumann-Fredholm ne peut être écrite que 

 si l'on connaît/(P) et qu'elle n'admet qu'une solution, l'éijuation (i) esi 

 vérifiée par toutes les fonctions harmoniques dans D. On peut donc, au sujet 

 de l'équation (i),se poser un problème de Dirichlet en remplaçant, dans l'énoncé 

 du début de cette Note, la condition que V(P) soit harmonique par la condi- 

 tion que V(P) satisfasse à l'équation (i) ( ' ). 



Ce problème transformé ne peut admettre deux solutions, car une 

 fonction ayant dans D un maximum ou un minimum absolu, ne peut satis- 

 faire à Téquation (i"); donc, dans les conditions où nous nous sommes 



(') On peut aussi se poser un problème de Dirichlet pour léqualion non honiog;éne 

 correspondanl à l'équation (1). 



