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placés, son unique solution est la solution du problème de Dirichlet ordi- 

 naire. 



Le problème transformé se résout de suite par la méthode des approxi- 

 mations successives utilisée comme pour les équations de Volterra; 

 d'ailleurs, pour le cas d'une dimension, l'équation (i) est presque une 

 équation de Volterra. Posons: 



K,(P.O)=yyK,(P,^)K,^,(a. Q)^«. /(P)-jyK,(F,Q)/(0)^Q. 



Les fonctions fiiX) convergent uniformément vers la fonction V(P) 

 chej-chée. 



La méthode peut être variée de bien des manières; /• désignant la dis- 

 tance des deux points F et Q, le théorème de la moyenne fournit l'égalité 



(2) V(P)= f l' ^. ^.'-^^''^ V(Q)./Q, 



//Il 9{'-)dQ 



qui fait correspondre, à chaque fonction 'f (/'), un noyau K|(P, Q) à partir 

 duquel on peut raisonner comme précédemment sous de très larges condi- 

 tions. Si, en particulier, on suppose 9('') égale à i dans un intervalle et 

 nulle ailleurs, cela revient à appliquer l'opération de moyenne à un cercle 

 ou à une couronne circulaire concentrique à <^(P). Comme cas limite, on 

 est conduit à l'opération de moyenne appliquée à la circonférence frontière 

 de C(P). Cette opération réitérée fournit bien encore la solution V(P), 

 mais elle ne correspond plus à l'algorithme indiqué. 



.l'indique, pour le cas du noyau primitif, la marche de la démonstration 

 qui est extrêmement simple quand on suppose, comme je l'ai fait ici, l'exis- 

 tence de la solution du problème de Dirichlet anlérieuremenl démontrée. 

 De ce théorème d'existence résulte (ju'à chaque point M de F on peut asso- 

 cier une fonction harmonique V„(P) continue dans D + F et égale, en 

 chaque point P de F, à la distance PM. En disposant convenablement des 

 constantes arbitraires A et B, on formera une fonction AA „(P) -h li plus 

 grande que /(P) dans tout D -+- F et ne surpassanty'(P) au point M que 

 d'une quantité inférieure à t. 



Cette fonction sera dite une barrière supérieure: on définira de même 

 une barrière inférieure. Toutes les /', (P ) sont comprises entre ces deux 

 barrières et par suite il existe un voisinage F, de F dans lequel toutes lesy,- 

 diffèrent de moins de 2 t. Si donc le maximum ;j-,,,4.y, de |/,(P) — /^(■*-p(P)| 



