338 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Les formes f indéfinies de discriminant 6' donné, c étant un entier négatif, 

 se répartissent en un nombre fini de classes. 



On peut, de plusieurs manières, donner des condilions de réduction 

 pour ces formes, mais, en général, il y a plusieurs réduites dans chaque 

 classe. 



7. Les formes /"indéfinies pour lesquellesla forme binaire adjointe zi(.r,y) 

 est définie positive s'étudient également par la méthode 'générale indiquée 

 précédemment, la formation efTective des réduites étant cependant moins 

 aisée que dans les deux autres cas. Mais une interprétation géométrique de 

 la transformation des fonctions abéliennes de genre 2, dont la première 

 idée est due à M. Huudjert et que nous avons développée, permet de relier 

 l'étude des formes considérées à une question traitée par M. Ilundjert rela- 

 tive aux fonctions abéliennes singulières (^Journal de Mathématiques pures et 

 appliquées ,^'^ ■èktiQ , t. IX, i9o3,p.65 etsuiv.). C'est véritablement cette classe 

 de formes qui se trouve étroitement liée à la théorie analytique de la trans- 

 formation ; toute propriété de ces formes a sa corresjiondanle pour les fonc- 

 tions abéliennes ordinaires ou singulières, (j'estainsi que des propriétés des 

 surfaces hyperabéliennes de M. Ilunihert (Mémoire cité, p. 91 ) on déduit 

 immédiatement que 



Les formes f indéfinies de discriminant 0- donné et dont la forme binaire 

 associée est définie positive et représente proprement un nombre dontié du 

 type \ N ou 4iN -f- i ^e répartissent en un nombre fini de classes. 



Les formes f indéfinies pour lesquelles est positif se distribuent en un 

 nombre limité de classes. 



En général, à une classe de formes binaires adjointes cp(.r, v), corres- 

 pondent plusieurs classes de formes /. 



A chacpie forme /corres|)ond un groupe fuclisien, isomorphe au groupe 

 des transformations de la forme quaternaire en elle-même, et lié aux trans- 

 formations semblables de la forme ternaire s^ — o ( .r, y). 



Nous nous limiterons à ces résultats doutiani la solution du problème 

 posé par Hermite, mais nous reviendrons sur ces formes qui permettent de 

 poursuivre l'analogie des entiers ordinaires et des entiers d'un corps quadra- 

 tique positif, car leur étude comprend, comme cas particulier, celle des 

 formes à indéterminées conjuguées pour un corps positif. 



8. Soit ■ 



/(xo, .r,, Xi, .r,) — laij.TfXj {i,/ = o, 1 . a, 3) ; a,j = a,i 



