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J'ai souvent attiré l'attention sur le : 



Premier THÉORÈME fondamental. — Si tous les points d' un domaine borné 

 et fermé D sont intérieurs à l'un des ensembles élémentaires A , , A^ , . . . , A„ , . . . , 

 ils sont tous intérieurs à un domaine simple formé de certains de ces ensembles. 



En abrégé : eu égard auv ensembles bornés et fermés^ une infinité 

 d'ensembles élémentaires équivaut à un domaine simple. 



J'appelle ensemble bien défini tout ensemble élémentaire et tout ensemble 

 qui, dans un domaine borné D, peut être obtenu par la répétition illimitée 

 des deux opérations suivantes : 



I" Somme d'une infinité d'ensembles (déjà définis) sans partie com- 

 mune; 



2" Différence de deux ensembles (déjà définis) dont l'un contient l'autre. 



La mesure d'un ensemble bien défini s'obtient, par définition, au moyen 

 des opérations même par lesquelles on le construit ('). Si l'on cherche à 

 calculer effectivement cette mesure, il est naturel de se donner une limite 

 de l'approximation désirée; on est ainsi conduit au : 



Second théorème fondamental. — Etant donné un ensemble bien défini 

 quelconque E et un nombre z arbitrairement petit.^ on peut construire un 

 domaine simple D tel que l'ensemble des points de E qui n' appartiennent pas à 

 D et des points de D qui n'appartiennent pas à V. soit compris à l'intérieur 

 d' ensembles élémentaires d'étendue totale inférieure à t. 



En abrégé, tout ensemble bien défini équivaut à un domaine simple, à t prés. 

 Les mêmes méthodes, appliquées à l'élude des fonctions de variables 

 réelles, conduisent au : 



Troisième théorème fondamental ('). — Étant donnée une fonction 

 bornée ¥ définissable analytiquernent et deux nombres arbitrairement petits 

 t et a, on peut trouver un pofvn'ime V tel que l'ensemble des points où la râleur 

 absolue île la différence entre F ei P est supérieure à s puisse être enfermé dans 

 des ensembles élémentaires de mesure totale inférieure à a . 



(') L'opéialioii qui consiste à prendre la partie commune à deuv ensenil)le> bien 

 définis conduit aussi à des ensembles bien définis; mais, pour mesurer l'un d'euv, il 

 faut ramener sa définilion aux deux opérations simples (ce qui est toujours possible). 



(^) Ce ihéorèmesedéduil de ceux (|ue j'ai énoncés dans ma Noie du 7 décembre 1908 

 au moyen des travaux de M. Lebesgue et du théorème fondamental de Weierstrass ; 

 mais je suis actuellement la marche inverse, en l'établissant direclemenl. 



