SÉANCE DU 12 FÉVRIER I912. 4l5 



En abrégé, toute fonction équivaut à unpolynome, à deux iprès (un £ dif- 

 férence et un £ domaine). 



C'est sur les deux derniers théorèmes fondamentaux que je base la défi- 

 nition et l'étude des intégrales des fonctions bornées. Une suite bornée de 

 polynômes P„ est asymptotiquement convergente si la mesure des domaines 

 algébriques, où la différence | P„ — P„| est inférieure à £, tend vers zéro 

 (|iiel que soit £ lorsque /j et m croissent indéfiniment. 



L'intégrale d'une fonction se définit comme la limite de l'intégrale d'une 

 suite de polynômes asymptotiquement convergente, le champ d'intégration 

 étant une suite asyin|)totiquement convergente de domaines simples (on 

 fait varier d'abord les polynômes, puis le champ d'intégration). 



Toutes les opérations sur les fonctions bornées auxquelles s'applique une 

 proposition analogue au premier théorème de la moyenne (équations diffé- 

 rentielles, intégrales, intégro-différentielles, etc.) se ramènent à des opé- 

 rations sur des suites de polynômes asymptotiquement convergentes, 

 opérations qui conduisent en général (') à des suites uniformément conver- 

 gentes. 



On sait que l'on peut considérer les fonctions non bornées et les domaines 

 infinis comme des cas limites des fonctions bornées et des domaines finis, 

 mais il y a lieu d'étudier, dans chaque cas, des conditions supplémentaires 

 do convergence, conditions non toujours vérifiées. 



Il est à peine besoin de faire observer que les considérations précédentes 

 s'appliquent à toutes les fonctions introduites jusqu'ici en analyse, sauf 

 peut-être aux fonctions non définissables analytiquement de M. Lebesgue. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles de la Géométrie. 



Note de M. Jules Drach. 



La théorie d'intégration, (jue j'ai développée sous le nom de théorie de 

 la rationalité ou intégration logique, donne pour les équations ditlérentielles 

 de la Géométrie des méthodes régulières permettant de prévoir des réductions 

 dans la difficulté de l'intégration, c'est-à-dire une réduction du groupe de 

 rationalité. On ramène ainsi des propositions classiques, dues à l'ingéniosité 



( ' ) La seule difficcillé provient, dans le otis où i/itervien/ient des divisions, de ce 

 que le diviseur peut tendre vers zéro ; on sait que c'est là le point capital de la 

 méthode de Fredholm. 



