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des géomètres, à leur source analytique commune, et l'on peut, sans diffi- 

 culté, en indiquer de nouvelles. 



I. Je me bornerai ici aux équations du premier ordre, 

 (i) i/c := m du. 



où m est une fonction donnée de ii et t-. Supposons que l'on connaisse pour 

 les courbes îi («, t'j = consl. qui satisfont à l'équation (i) une propriété 

 géométrique : de quelle utilité cette connaissance peut - elle être pour l'inté- 

 gration rt^e ( I ) ? 



Considérons d'abord le cas où ces courbes étant tracées sur une 

 surface (S) d'élément linéaire 



({$"■ = E du^ -h 2F du dr -+-Gdv\ 



la propriété géométrique en question se conserve par une déformation 

 continue de (S) ; elle s'exprime alors par une relation 



(2) R[9, 1,(9), 1,(9), ...,i2.I,(i2), ...J = o 



entre les invariants de Beltrami de la fonction s et les invariants absolus 

 (ou de Minding), déduits de la courljure totale Q, par les opérations A, 

 A.,, Cette relation peut être regardée comme une forme réduite de 



fq«t>. 1,(0)), i5(a>), ....a. i,(i2). ...] = o, 



où $ est une fonction arbitraire de cp. 



Si la relation (3) ne dé|)encl pas eflecliveiiient de <I>(cp), nous ne lirons aucun parli 

 de la connaissance de (2); elle est simpleuienl l'équalion aux dérivées partielles qui 

 définit le rapport 



d7i 

 m = — • 



dcp 



Exemples : La lelalion Ao=o; la lelation — = rf 1 iî. A (Î2), . . . ) où - — est la 



Pf . _ Pf 



courliure géodésique de la courbe (p=consl. et 3 une fonction quelconque des 



invariants absolus; la relation qui exprime que (i) définit des asymptotiques de l'une 

 des déformées de (S). 



2. Si la forme (3) renferme <I>, "P', <I> , ..., en l'identifiant à l'une de ses réduites, 

 obtenues en particularisant 4», on a un s^'slème difTérenliel qui définit <1>, <!•', -j— ou 



