SÉANCE DU 12 FÉVHIEK 1912. 4l9 



points de diramation d'une fonction j(a:), à // branches, de genre p, et 

 fixer aussi les transpositions correspondant entre les branches y,, y,, . . ., j„, 

 de façon que ces transpositions forment un groupe transitif et que leur pro- 

 duit soit l'identité ; il existera une classe correspondante de fonctions algé- 

 briques y (a;), ou si l'on aime mieux une fonction irréductible, définie en 

 faisant abstraction des transformations rationnelles. 



11 y a lieu de poser un(; question analogue pour les fonctions algé- 

 briques de deux variables : 



z{xy). 



Soit 



F(xv'-) ^ o 



une équation algébrique de degré « (^>> i) en s et considérons la fonction 

 à n branches 3(.ry) qui se trouve définie par cette équation. Il y aura en 

 général un lieu de points de diramation 



/{xy) = o, 



qu'on peut considérer [comme une courbe du plan (xy), dans le sens de 

 la géométrie algébrique, ou, si l'on aime mieux, comme une surface 

 appartenanl à l'espace à 4 dimensions qui fournit la représentation des 

 points cotnplexes du plan (.rj'). 



La question se pose maintenant de construire la fonction z {^ y), étant 

 donnée a priori ta courbe de diramation 



f(xy) = o. 



Mais une difficulté se présente qui n'a pas d'analogue dans le cas des fonc- 

 tions d'une variable. C'est que, pour n > 2, une courbe 



/(xr) = o 



donnée arbitrairement ne saurait constituer la courbe de diramation totale 

 pour une fonction algébrique z (^xy^ à n branches. 



C'est ce qu'on reconnaît aisément parce que, étant donnés les caractères 

 invariants (/>„, /y" ) de l'équation 



¥{xyz) = o, 



on trouve en général que la courbe 



/{xy)—o 

 a un certain nombre de noeuds qui est > o pour n > 3, et un certain nombre 



