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de points de rebroussement qui est > o pour /( > 2, ces nombres pouvant 

 être calculés à l'aide de formules connues. 



En examinant de plus près la question, ou Ir'ouvi' uième (jue deux courbes 



f{xy) — 0, (ï.(j;v)=o, 



du même ordre, douées du même nombre de nœuds et de points de rebrous- 

 sement, pourraient être déterminées de façon que/":= o soit la courbe de 

 diramation d'une fonction algébrique z (xy), tandis qu'il n'existe pas une 

 fonction z(^xy) ayant pour courbe de diramation cp = o. 



La question de déterminer les conditions d'existence d'une fonction algé- 

 bri(|ue z(^xy) ayant une courbe de diramation donnée 



f(xy) — o, 



peut être résolue par l'analyse du groupe de monodromie de la fonction 

 y(a;). On supposera en général que la courbe y = o soit d'un certain ordre 

 pair 2/n, et qu'elle possède un certain nombre de points doubles, en distin- 

 guant les nœuds et les points de rebroussement; on exclura qu'il y ait des 

 singularités plus élevées, et en même temps que la courbe ait une position 

 particulière par rapport à la droite à l'infini ou aux axes x,y du plan ( -vy). 

 Ce sont là des conditions (jui ne diminuent pas, d'une manière essentielle, la 

 généralité du problème. 



Ces hypothèses étant satisfaites, ily aura lieu de considérer deux sortes de 

 points de diramation de la fonction y (.r) : 



1° Les points de diramation simples^ qui correspondent aux droites paral- 

 lèles à l'axe y qui sont tangentes à/= o en un point simple; 



2° Les points de diramation correspondant aux points de rebrousse- 

 ment de / := o. 



S'il existe une fonction algébrique irréductible z(xy), an (> 2 ) bran- 

 ches s,, s., ..., z,i, correspondaul à la courbe de diramation /"(•/• v) = o, 



on aura d'abord 



■îm =^ 2/1 -\- ip — 3 (yo i o ) 



et les conditions suivantes se trouveront satisfaites : 



1. Les transpositions entre les •i//i blanches de y(x), correspondant aux 

 points de diran)ation simples (1°), engendreront un ^/•o«/>e««/ra/j.«/i/,- d'une 

 manière plus précise les 2/// branches y,, y.j, .■.,y-2,n se partageront par 

 ra[)port à ce groupe en un certain nombre 



p = " — ' 



