5oo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



tion linéaire 



réductible à l'aide du changemenl 



à une équation linéaire à coeflicients constants (E), se calcule à Faide de la 

 transcendante 0(3), ses dérivées et les racines de l'équation caractéristique 

 rattachée à (E). 



Le rôle de ô(s) comme élémentde comparaison se manifeste, par exemple, 

 dans les propositions suivantes : 



1° Le module d'une fonction entièrey(3jdugenrezéro et de type cano- 

 nique est toujours inférieur à la valeur de l'expression 'k(^er), où r= \z\ 

 et u. = constante réelle positive, ayant pour valeur la somme des inverses 

 de modules des zéros de / ( ;J; 



2° 9(3) étant une fonction à zéros dont les modules sont supérieurs aux 

 modules des inverses des coefficients de même rang d'une fonction entière 

 du genre zéro et de type canonique, le module de 9(^2) est toujours infé- 

 rieur à la valeur 



où/' = |s| et A = une constante réelle positive, ayant pour valeur la somme 

 des modules des inverses des zéros de Zi( :■)■ 



On démontre des propositions pareilles par les procédés ordinaires de la 

 théorie des fonctions entières; elles ne sont ici citées que pour donner un 

 exemple du rôle de 0(s) comme élément de comparaison. 



La transcendante 0(s) est une fonction entière de z- dont j'indiquerai ici 

 quelques particularités d'allure. D'ai)ord, elle se laisse exprimer par l'inté- 

 grale définie 



(i) '){z)=l {^+ze'")dl {ti --— tlogl), 



et ses dérivées successives par les intégrales 



(2) T^ ~ ii''-'(/,-hztt)e--"dt. 



