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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — La classification des ensembles de mesure nulle 

 et la théorie des fonctions monogènes uniformes. Note de M. Emile 



BOREL. 



Toutes les fonctions définissables analytiquement ayant les mêmes pro- 

 priétés générales lorsqu'on exclut les ensembles de mesure nulle ('), une 

 classification de ces ensembles doit précéder l'étude approfondie des pro- 

 priétés de classes particulières de fonctions. Je baserai cette classification 

 sur la notion d'ensemble régulier, convenablement précisée (-). Un 

 ensemble régulier (de mesure nulle) est défini par une infinité énumérable 

 de points fondamentaux A„ à chacun desquels est attachée une infinité 

 énumérable de domaines de forme régulière (carrés ou cercles dans 

 le cas de deux dimensions) D)[', tels que D),'^' contienne D),'^*'' et que les 



séries o-r = y D^[' convergent pour toute valeur de r, les sommes o-, tendant 



vers zéro pour r infini. 



Etant donnée une série convergente à termes positifs, l'inverse du reste R„ 

 est une fonction croissante den. L'ordre d'infinitude de cette fonction sera, 

 par définition, l'ordre de convergence de la série. Etant donnée une infinité 

 énumérable de séries convergentes, telles que o-^, l'ordre asymptotique de 

 convergence est, par définition, un ordre (qu'on choisira pratiquement le 

 plus grand possible), tel que l'ordre de convergence de la série a^ 'ui 

 devienne supérieur à partir d'une certaine valeur de r. Cet ordre est aussi, 

 par définition, l'ordre asymptotique de l'ensemble régulier auquel corres- 

 pondent les séries a,. V ordre d^un ensemble de mesure nulle est le plus grand 

 possible des ordres asymptotiques des ensembles réguliers qui le renferment. 

 Cette définition ne permet pas toujours de déterminer l'ordre avec pré- 

 cision, mais elle fournil en tout cas une limite inférieure de cet ordre, c'est- 

 à-dire permet d'affirmer qu'il est supérieur à un ordre connu. C'est sous 

 cette forme qu'on utilisera généralement la notion de l'ordre. 



On sait que la notation des ordres d'infinitude présente des analogies 



(') Voir mes Noies du 7 décembre igoS el du 12 février 1912. 



(') Voir ma Noie du 6 mars 191 1; le point nouveau que j'iulroduis ici est la 

 forme régulière des domaines d'exclusion; celle modification n'altère pas la proposition 

 fondamentale : tout ensemble de mesure nulle peut être regardé comme faisant 

 partie d'un ensemble régulier. 



