SÉANCE DU 26 FÉVRIER 1912. 56g 



avec celle des nombres transfinis (de seconde classe), avec laquelle elle est 

 à peu près dans le même rapport que la notation des nombres rationnels 

 (fractions continues limitées) avec celle des entiers ('). L'ordre d'un 

 ensemble énumérable dépasse tout nombre assignable de seconde classe; on 

 peut le noter O; la question de savoir si tous les ensembles d'ordre Ll sont 

 nécessairement énumérables intéressera peut-être ceux qui attribuent un 

 sens aux spéculations dans lesquelles interviennent tous les nombres de 

 seconde classe. . 



La considération des ordres permet d'étendre beaucoup la notion du 

 domaine d'existence des fonctions monogènes uniformes, cette extension 

 étant assujettie à comprendre comme cas particulier la théorie de Weiers- 

 trass. J'avais déjà fait des tentatives dans ce sens et les résultats que j'avais 

 obtenus (-) prouvent que les définitions qui vont être données ne sont pas 

 simplement une généralisation théorique, mais qu'il existe effectivement 

 des fonctions monogènes satisfaisant à ces définitions et échappant à celle 

 de Weierstrass. Seulement, ces résultats ne s'appliquaient qu'à des classes 

 de fonctions très particulières, du moins en apparence, définies par certains 

 développements en série, de forme donnée a priori ; tandis que je prends 

 actuellement pour base la définition générale de la fonction monogène, 

 d'après Cauchy. 



Définition. — Une propriété quelconque est dite vérifiée asyinplotiquemenl 

 d ordre a dans un domaine D, lorsqu'elle est vérifiée en tout point de ce 

 domaine, à l'exclusion d'un certain ensemble de mesure nulle, d'ordre supé- 

 rieur à a. 



Théorème. — Il existe un ordre a telque, si la définition classique des fonc- 

 tions monogénes uniformes est vérifiée asymptotiquement d'ordre % dans un 

 domaine D d'un seul tenant par une fonction f{x ■+- iy), cette fonction ne 

 peut être nulle sur un petit arc sans être nulle pai-tout {en tout point où elle est 

 définie). On peut, pour fixer les idées, prendre a. = co". 



(') Voir mes Leçons sur la théorie de la croissance. Je rappelle qu'il est toujours 

 possible, étant donné un système tle notations, de fabriquer des ordres d'infinitude 

 dépassant ce système. Tout système de notations bien défini est donc exposé à être 

 inapplicable ou en défaut. Mais, inversement, si l'on a à envisager un système quel- 

 conque d'ordres, on pourra toujours fixer des notations suffisantes. Nous n'avons 

 besoin, dans ce qui suit, que de la connaissance des premières notations, qui sont 

 classiques. 



(-) Voir notamment mon Mémoire Sur les séries de polynômes et de fractions 

 rationnelles (Acta malematica, t. XXIV). 



