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Il est évident que le théorème ne subsisterait pas si Ton prenait a5 i, 

 car le domaine 1) pourrait alors ne pas rester d'un seul tenant, après l'excUi- 

 sion de l'ensemble de mesure nulle. La question se pose donc de déterminer 

 Tordre le moins élevé possible a ( compris entre 2 et oj'"), tel que le théorème 

 subsiste. 



La démonstration de ce théorème est essentiellement bai^éesur Tintégiale 

 de Cauchy( ')•, elle conduit aisément à une représentation analytique géné- 

 rale des fonctions monogènes uniformes, qui comprend comme cas particu- 

 lier celle de M. Mittag Leffler (-). En employant le langage des nombres 

 transfinis (il y aurait lieu de faire des réserves sur l'emploi de D, mais je 

 m'en sers uniquement pour faire image), on peut dire que le cas traité par 

 M. Mittag Leftler (ensembles réductibles) correspond à l'hypothèse que 

 l'ordre a de l'ensemble des points singuliers atteint ù ( ou peut-être même 

 à un cas particulier de celte hypothèse); nous sommes arrivés à remplacer 

 Q par co"; il sera sans doute possible de diminuer encore beaucoup la valeur 

 de a, et l'on arrivera peut-être à I abaisser jusqu'à la valeur i -t- î. 



Ce qui est acquis, c'est la possibilité de tirer de la définition de Cauchy, 

 vérifiée en certains ensembles de points, ensembles qui peuvent n'être 

 denses nulle part ('), la conséquence essentielle sur laquelle Weierstrass a 

 basé sa théorie des fonctions analytiques : deux fonctions qui coïncident sur 

 un petit arc coïncident dans tout leur domaine d'existence. La conception 

 de Cauchy est ainsi débarrassée d'une partie au moins des restrictions que 

 lui avait apportées Weierstrass. 



(') J'utilise, bien entendu, les propriptés énoncées dans ma INole du 12 février 

 1912. 



(') Acta malemalica, t. IV. Bien entendu, ces fonctions possèdent aussi des déve- 

 loppements en séries de polynômes de forme M (théorème de l'étoile de M. Mittai; 

 LefOer généralisé) déterminés d'une manière unique par la connaissance des dérivées 

 en un point. 



('),I1 est évident que ces ensembles (domaines d'où l'on exclut des ensembles de 

 mesure nulle d'ordre > a) forment un groupe, en ce sens que l'ensemble des points 

 communs à deux d'entre eux constitue un ensemble de même nature (mais qui peut 

 ne plus être d'un seul tenant), car la somme de deux ensembles de mesure nulle d'ordre 

 supérieurou égal à a est évidemment un ensemble de mesure nulle d'ordre supérieur 

 ou égal à oc. Ceci permet de prouver que les opérations sur les fonctions monogènes 

 généralisées conduisent à des fonctions monogénes, dans les mêmes conditions où les 

 opérations sur les fonctions analytiques de Weierstrass conduisent à des fonctions 

 analytiques. 



