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OU par la formule symbolique équivalente 



(6) V=-n-('^ («/.=:e/,). 



En d'autres termes, ç est engendré par les transfonnations infiniu si- 

 mules ly ' ) 



(7) i/uv) = dtj 



W l,r,. )•)/(,)• jf/r. 



Pour ^^i, on retrouve la transcendante de Vol/erra et son théorème 

 d'addilioii. 



.'}. Les /•e«/j/'0(7//e^ des théorèm es précédents sont vraies (-). 



4. La théorie qui précède est liée à l'étude de l'équation (5), où W 

 serait maintenant une fonction quelconque de (a:,j, /) (^). On démontre, 

 par la méthode des approximations successives, qu'elle a une solution s'an- 

 nulant avec t. La méthode de la variation des constantes donne la solution 



(8) V = w + G + Cf.i, 



où C est une fonction arbitraire de {x,y) et w une solution particulière 

 quelconque. Cette formule met en évidence un groupe qui joue, à tous les 

 points de vue, le rôle du groupe linéaire homogène dans la théorie des 

 équations différentielles linéaires ordinaires ( singniarilés, réduclibi- 

 lité, etc.). W est l'expression d'un im^ariant intéoro-di/férenliel caracléris- 

 tique de ce groupe. 



Cette même formule (8) permet d'appllcjner la méthode de la variation 



(') M. Kovaleuski a considéré des transformalions fonclionnelles infinitésimales de 

 types plus généraux {Comptes rendus, 26 décembre 191 1). Il a démontré aussi que 

 chaque transforiiiation du tj pe de \oUeira est engendrée par des transformations 

 infinitésimales {Comptes rendus^ i3 novembre 1911)- 



C) Tout ceci s'applique aux opérations de Fredliolrn. On a alors des groupes finis 

 de toute structure dont les transformations infinitésimales sont de la forme 



>r»/,y;,(./-)r,y(j). 

 (') lù de l'équation -— =; W -t- ^^'V , dont les propriétés sont corrélatives. 



