SÉANCE DU 4 MARS 1912. Ô^l 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la théorie des 

 fonctions sommables. Note de M. Frédéric Kiesz, présentée par 

 M. Emile Picard. 



La lecture d'une Note fort intéressante de M. Borel, imprimée dans le 

 numéro du 12 février, me fait reprendre une tâche que je me suis proposée 

 déjà plusieurs fois, sans l'accomplir. Il s'agit d'exposer, par une voie 

 simple et élémentaire, la belle et importante théorie des fonctions som- 

 mables. C'est précisément cette même tâche que se propose, entre autres, 

 M. Borel. J'ai imaginé une voie qui diffère un peu de celle suivie par 

 M. Borel; elle est, à ce qu'il me semble, plus conforme aux idées de 

 M. Lebesgue lui-même. 



Le raisonnement de M. Borel est basé sur ce que j'ai appelé autrefois 

 convergence en mesure (M. Borel dit : asymptotique). Le fait essentiel dont 

 il se sert consiste en ce que l'on peut, avec une précision arbitraire, appro- 

 cher en mesure les fonctions sommables par des polynômes. 



Or, en ce qui concerne les suites convergentes en mesure, M. Weyl et 

 moi, nous avons démontré que de toute cette suite on peut tirer une suite 

 partielle, laquelle tend effectivement vers la fonction limite, sauf peut-être 

 pour un ensemble de mesure o ('). D'autre part, d'après M. Lebesgue, 

 toute suite convergente converge aussi en mesure. Par conséquent, on 

 pourra éviter l'emploi de la notion un peu difficile de convergence en 

 mesure. 



Quant à l'application des polynômes, je préfère employer les fonctions 

 simples. J'entends par fonction simple toute fonction, définie sur un inter- 

 valle (a, b), n'y admettant qu'un nombre fini de points de discontinuité, et 

 constante sur chacun des intervalles partiels contigus. Quant aux points de 



discontinuité, j'y suppose, pour fixer les idées, f{x) = - [f(x—o)+f{x-{-o)\. 



Pour ces fonctions, le problème d'intégration devient trivial. De plus, 

 leur emploi est conforme soit aux idées de Riemann, soit à celles de 

 M. Lebesgue (-). 



(') H. Wkyl, Ueber die Koiwergenzvon Reilien, die nach Orthogonal/ unktionen 

 fortschreiten (Math. 4nn., l. LXVII, p. 325-245). — F. Riesz, Sur les suites de 

 Jonctions mesurables {Comptes rendus, l. 148, p. i3o3-i3o5). 



(') H. Lebbsgue, Sur les intégrales singulières ( Ann. Fac. Se. Toulouse, 3" série, 



