642 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Mais les remarques que je viens de faire ne portent que sur des ques- 

 tions de détail. Il y a encore un point beaucoup plus délicat à discuter. Il 

 s'agit d'exposer une théorie élémentaire. Il serait diflicile de définir ce qu'on 

 entend par élémentaire ; mais un terme de comparaison nous est fourni 

 par la rapidité avec laquelle les théories deviennent familières. Or, si la 

 théorie de M. Lebesgue ne l'est pas encore à tous ceux qui s'occupent de 

 l'Analyse, c'est parce qu'elle est précédée d'une étude approfondie des 

 ensembles mesur((bles. Peut-on se débarrasser de l'emploi de celte notion 

 générale ou, au moins, peut-on l'ajourner? 



Pour fixer les idées, je n'envisagerai que des fonctions bornées. Je ne me 

 sers que de la notion d'ensemble de mesure nulle. On entend par là tout 

 ensemble qui peut être enfermé dans un ensemble lini ou déiiombrable 

 d'intervalles, de somme arbitrairement petite. Il suit immédiatement que : 

 1° tout sous-ensemble, 2° la somme d'un nombre fini ou d'une infinité 

 dénombrable de tels ensembles est aussi de mesure nulle. 



Considérons une suite [/«(a;)] de fonctions bornées, définies sur l'inter- 

 valle («, 6). Je dirai que cette suite tend d' une façon simple vers la fonction 

 bornée f{x) si : 1° les fonctions f„{x') sont bornées dans leur ensemble; 

 2°/„(.r) tend vers /(a;) pour tous les a?, sauf peut-être pour un ensemble 

 de mesure nulle. 



Cela posé, soit f(x) telle qu'il existe une suite de fonctions simples 

 [/„(a;)], tendant d'une façon simple vers/(,r j. Dans ce cas, j'appelle /(a;) 

 une fonction sommable, et je pose, par définition, 



j /{x)da:^\\m 1 f„(x)dx. 



Pour légitimer cette définition, on aura à démontrer deux théorèmes : 



I. Lorsque la suite des fonctions simples \f„{r)^ converge d'une façon 



simple^ la suite des f f„{x)dx converge. 



^ Il 



II. Lorsque la suite des fonctions simples \fn{^)\ ^^"^^ d'une façon simple 

 vers o, o// a aussi f fn{^) doo -^o. 



Je n'insiste pas sur les démonstrations. Tout revient à appliquer, au cas 



l. I. p. 25-117). — F. RiKsz, Ueber Système integiierljd 1er Funklioiieii(Matli. Aiui., 

 t. LXIX, p. 449-497)- 



