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particulier des fonctions simples, des raisonnements déjà faits, portant sur 

 des cas plus généraux. Il est presque évident qu'on n'aura pas besoin de 

 la théorie générale de la mesure. 



On pourrait aller encore plus loin en démontrant, par exemple, toujours 

 à l'aide des fonctions simples, que lorsqu'une suite de fonctions sommables 

 [/„( r)] converge d'une façon simple, la fonction limite/fa;) est aussi som- 



mable et que, de plus, / f„(^x)(lœ-^l f(^x)dx. Donc les fondions som- 



mables constituent quelque sorte de classe fermée. 



Mais on pourra aussi se contenter d'avoir introduit la notion de fonction 

 sommable et celle de l'intégrale, sans utiliser la théorie générale de la 

 mesure; cela fait, on cherchera à regagner le chemin suivi par M. Lebesgue. 

 On remarquera d'abord que de la définition découlent immédiatement les 

 faits principaux portant sur les fonctions sommables; entre autres, il en 

 résulte la sommahilité du produit et les inégalités fondamentales. Cela étant, 

 pour définir les ensembles mesurables et leur mesure, on n'aura qu'à consi- 

 dérer les fonctions sommables prenant exclusivement les deux valeurs o et i. 

 De plus, en multipliant les fonctions sommables par ces fonctions spéciales, 

 on sera conduit à envisager l'intégrale prise sur un ensemble mesurable. 



Enfin, il convient d'observer que les fonctions sommables, comme 

 nous venons de les définir, sont identiques à celles sommables au sens de 

 M. Lebesgue; ce qui est d'ailleurs un fait bien connu. Mais il sera aussi 

 intéressant de remarquer que la théorie de Riemann peut aussi être atta- 

 chée, d'une façon bien simple, à l'ordre d'idées que nous suivons. Les 

 fonctions intégrables au sens de Riemann sont caractérisées par le fait 

 qu'elles peuvent être approchées d'une façon simple par des fonctions 

 simples, et cela de sorte que la convergence soit uniforme aux eni'irons de 

 tous les X, sauf peut-être pour un ensemble de mesure nulle. On dit, d'après 

 M. Pringsheim, quey„(j;) tend uniformément vers f{x) aux environs du 

 point Xg, quand, à tout nombre positif t, correspond un voisinage de x^ et 

 un nombre n tels que les inégalités \fy(x) — f{v)\ <C ^ sont vérifiées pour 

 tous les V > « et pour tous les points x appartenant au voisinage. 



