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centres C et C, ; de même, l'ensemble des sphères osculatrices (C,) forme 

 une congruence de sphères rapportées à ses lignes principales. 



Il est facile de voir les éléments qui y correspondent dans l'espace à cinq 

 dimensions. On sait (loc. cit., p. 199) qu'à la congruence de cercles (M) 

 correspond un réseau I; soit a le point qui décrit ce réseau; b, b', b" les 

 réseaux qui s'en déduisent par la méthode de Laplace dans un certain sens; 

 c, c', c" ceux qui s'en déduisent dans l'autre sens. Les congruences (ah), 

 (ac) représentent les sphères des centres (C) et (D); les réseaux b et c 

 représentent les deux séries de cercles osculateurs aux lignes de courbure 

 de M; les congruences (bb'), (ce') représentent les deux sphères oscula- 

 trices aux lignes de courbure. 



Ainsi : Les réseaux qui représentent les cercles osculateurs des lignes de 

 courbure d'une surface sont les transformés par la méthode de Laplace d\in 

 réseau T. 



Cette représentation permet d'étudier simplement les problèmes relatifs 

 aux cercles osculateurs et aux sphères osculatrices aux lignes de courbure. 

 Je vais l'appliquer au problème suivant : 



Trouver deux surfaces (M.) et (M') qui se correspondent avec conservation 

 des lignes de courbure et telles que le cercle osculateur à la première série 

 de lignes de courbure en M soit le même que celui à la seconde série en M'. 



Il est clair que le réseau qui représente ces cercles doit se transformer des 

 deux côtés en un réseau I. La loi d'orthogonalité des éléments y fait cor- 

 respondre une congruence qui se transforme des deux côtés en congruence I. 

 C'est précisément le cinquième cas particulier signalé dans mon Mémoire 

 (Ann. Ec. Norm., 1903, p. 261). Au point de vue analytique on est donc 

 ramené à trouver une équation de M. Moutard, 



''' MB, 



au d^ 

 ^admettant cinq solutions 0,, 0,, . .., O5 telles que 



Les cinq coordonnées pentasphériques du point M sont les quantités -r-^; 



celles de M' (qui coïncide avec K,) sont-r-i; les longueurs RM et RR, sont 

 égales : la sphère qui a pour centre R et pour rayon RM a pour coordon- 



