SÉANCE DU II MARS I913. (i83 



une troisième sont permutdbles entre elles. Ce théorème résulte effectivement 

 des remarques suivantes. 



Dans le cas ¥(x,x) ^ o, les fonctions $ permutables avec F sont, à un 

 changement de variables près, données par une formule explicite de 

 M. Yolterra, qu'on peut ramener à la forme 



(I) 



<&(x, j) = 9( j - X) +f 9{^' -x)K(i-.r\ x\y)dl. 



OÙ K est un noyau qui ne dépend que de F et est connu, tandis que 

 ii)(j)^$(o, jk) demeure arbitraire. Le crochet de deux fonctions (i) est. 

 par suite, de la forme 



(2) (0,4»,)=y" dlj (^{l~x)^,{y--fi)H{i,ri,x,y)dldn, 



OÙ H ne dépend encore que de F. Or ce crochet est nul pour tous les couples 

 de fonctions $, $,, qui sont de la forme 



( 3 ) «, F + flr, FF + ff;, FFF -h ... s a, F + a, f' + a,?' + . . . , 



où a,, a,, «3, .. . sont des constantes arbitraires; car on sait que ce sont des 

 fonctions permutables à F et permutables entre elles. Les fonctions a-, oi, 

 qui leur correspondent dépendent, essentiellement, d'autant de constantes 

 arbitraires que l'on voudra : il résulte alors des résultats connus sur les 

 équations de Volterra de première espèce que le noyau H est nul identi- 

 quement, si l'on admet que F est une fonction analytique (et même dans des 

 conditions moins restrictives). 



2. Le même mode de raisonnement permet de montrer que, ^we/c/wp^oj'i 

 F, // ne peut exister qu'une fonction <I>, permutable à F, qui se réduise, pom' 

 ,1' =L o, à une fonction donnée de y. 



Cela posé, si ¥{x,x) = o, et si l'on suppose que F(.r, y) soit, par rap- 

 port à (y — x), d'un ordre infinitésimal m déterminé, il existe, d'après 



M. Volterra, une fonction G, telle que F = G , et G(x,x)^o. Toute 

 fonction <ï» permutable à G est permutable à F; et comme la fonction 'f(y), 

 à laquelle elle se réduit pour ce = o, est arbitraire, on obtient ainsi toutes 

 les fonctions permutables à F. Celles-ci sont donc, à un changement de 

 variables près, données encore par une formule du type (i); et elles sont 

 encore, deux à deux, permutables. 



