SÉANCE DU l8 MARS 1912. 755 



Il le nombre des intersections de deux courbes et le nombre des courbes 

 de G qui ont un point double. D'après MM. Zeuthen et Segre l'expression 



I = Ô — 4 7t — « 



est indépendante du choix du faisceau G (')• 



Je me suis occupé du problème, comment il faut choisir et «, afin que 

 l'expression I reste indépendante du choix du faisceau G, même si l'on 

 permet qu'il y ait des courbes avec des singularités quelconques et des 

 courbes se divisant en facteurs cpielconques parmi les courbes de G et que 

 toutes les courbes de G aient des points multiples (aux points fixes). 



Voici les résultats (jue j'ai obtenus à ce sujet : Nous désignons par 

 (Q,, Q.j) le nombre des intersections de deux courbes ((^,, ^l-,). Le 

 symbole ne change pas de valeur, si l'on substitue un diviseur équivalent 

 à Q, ou Q,. Si les diviseurs Q, et Q, ont un facteur commun, le symbole 

 (Q,, Qo) doit être calculé enposantpour un desdeuxdiviscurs, par exemple 

 pour Q,, uu diviseur f|ui lui soit équivalent et qui n'ait pas un facteur commun 

 avec Qo. 



1° Soit 05 une courbe de (î ; décomposons-la en facteurs primaires 



^ = X)W,'ri' . . . , 



les A, pouvant être égaux à i ou o. Soient 20-, l'ordre du diviseur des points 

 multiples de K,-, et 7:, le genre virtuel de ^l,. \ous posons 



Soit Vo le nombre des branches de la courbe ^iflj^:! • ■ • (P''^ ^'^ '" courbe 

 ©) passant par les points multiples des courbesK, et par les points d'inter- 

 section des courbes p,- et enfin soit p„ le nombre de ces points. 



Soient 2a-„ l'ordre du diviseur des points multiples d'une courbe générale 

 ©„ de G, v„ le nombre des branches de ©„ passant par ces points et p^ le 

 nombre de ces points. 



Alors la contribution que © y ajoute à o est 



0{é) = (2C7„— V„+ p„) - (20-,,- V,.-h pa) + ^ ( >-, — i)[-2T.,— 2 + (P,', €'t'7')] i 



(') Je rappelle que l'invariant de MM. Zeuthen et Segre a été aussi rencontié par 

 M. Picard dans la ([uestion loule dill'éreiUe de l'évalualioii du nombre des intégrales 

 doubles distinctes de seconde espèce d'une surface algébrique {Théorie des Jonc- 

 lions algébriques, t. II, p. .ji3). 



