SÉANCE DU l8 MAKS 1912. 7^7 



réelle de ^^ est négative ou positive, la fonction j(a;) admet comme points 

 critiques tout à fait analogues à des points critiques logarithmiques, des 

 points à distance finie où le point j; = ao . 



J'ai été conduit au théorème précédent par l'application suivante, par 

 l'étude d'équations différentielles du troisième ordre, telles que l'équa- 

 tion 



(2) y"=/y"-2j''S 



dont les intégrales nOnt ni p(Mes, ni points critiques algébriques : je vou- 

 lais notamment décider si les intégrales de ces équations sont des fonctions 

 uniformes. L'équation (2) n'est pas altérée parle groupe de transformations 



à deux paramètres (j.;y\ olx -i- ?» ^) = parsuite, l'intégration de cette équa- 

 tion se ramène à l'intégration d'une équation du premier ordre suivie de 



y' 

 deux quadratures. Par exemple, la transformée en ^ = " peut être rem- 

 placée par le système 



(3) ^-7^-' 



dt l 



^^' du b -\- l ^ 



L'équation du premier ordre (4) rentre dans un type d'équations consi- 

 déré (') par M. Bendixson et M. Picard dans le cas des variables réelles. 

 M. Bendixson a montré, par des approximations successives, que les équa- 

 tions telles que l'équation ( '1) admettent sur l'axe réel, à droite et à gauche 

 du point H = 0, une infinité d'intégrales dépendant d'un paramètre arbi- 

 traire, continues et tendant vers zéro quand u tend vers l'origine. Et 

 M. Picard a montré que les intégrales de M. Bendixson admettent toutes, 

 au voisinage du point « — o, un même développement asymptotique or- 

 donné suivant les puissances croissantes de h, et commençant pour l'équa- 

 tion (4) par / = 4 2w + . . . . Ces résultats de M. Hendixson et de M. Picard 

 s'étendent au cas des variables complexes. Dans le cas de l'équation (4), les 

 suites de fonctions considérées par M. Bendixson sont uniformément con- 

 vergentes au voisinage du point u=^o dans tout angle intérieur à l'angle 



(') Cf. Bendixson, Acta inal/ieinatica, l. WIV. — Picard, Traité d'Analyse, 

 l. 111. 1' édition, p. 257-267. 



